10 Задача анализа электрической цепи при синусоидном действии

Поскольку законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме справедливы для электрических цепей синусоидного тока, все методы расчета электрических цепей (МКТ, МУН, теорема об эквивалентном генераторе и т.п.) также можно использовать, но для комплексных значений токов, напряжений и ребер.

Сделаем качественный анализ электрической цепи синусоидного тока на примере схемы (рис.10.1а). Перейдем к эквивалентной схеме (рис.10.1б), где сделаны обозначения ; . Тогда рассчетные формулы для решения задачи анализа будут такие:

; ; ;

; ; ; .

а) б)

Рисунок 10.1

Pисунок 10.2

Рассмотренный пример можно проанализировать также с помощью векторной диаграммы (рис.10.2). Для этого необходимо задаться вектором тока (напряжения) для наиболее отдаленного участка электрической цепи, а потом провести геометрические построения на основе законов Ома и Кирхгофа. Последовательность действий может быть такой:

1) задаем вектор ;

2) строим векторы и , учитывая, что первый совпадает по фазе с вектором , а второй опережает вектор на угол ;

3) вектор находим по первому закону Кирхгофа ;

4) зная , строим вектор , который совпадает по фазе с (т.е., эти векторы паралельны), и вектор , который опережает вектор тока по фазе на угол ;

5) по второму закону Кирхгофа: ; .

6) поскольку сдвиг фаз между вектором и током , делаем вывод, что входное сопротивление цепи имеет емкостной характер.

10.1 Соотношение между активнымии i реактивными составляющими

ребер и проводимостей участки цепи

Рассмотрим пассивный двуполюсник. Пусть комплексные амплитуды напряжения и тока на входе двуполюсника равняются:

;

Найдем комплексное входное сопротивление:

Итак, модули и обратно пропорциональны, а аргументы противоположны:

; .

Кроме показательной формы записи и широко используется также алгебраическая форма записи этих комплексных величин: ; , что соответствует последовательному (R и X) и параллельному (G и B) объединению элементов двуполюсника. Установим связь между активными и реактивными составными Z и Y:

Итак,

; . (10.1)

В свою очередь, если задано комплексное сопротивление двуполюсника Z, то комплексная проводимость

Итак,

. (10.2)

Вывод. Формулы (10.1), (10.2) показывают, что:

1) реактивное сопротивление X и реактивная проводимость B одном и том же участке электрической цепи имеют одинаковый характер;

2) каждая составная проводимостей(G и B) зависит как от активного, так и от реактивного ребер (R и X). Соответственно, каждая составная сопротивлению (R и X) есть функцией G и B;

3) активные составляющие R и G также зависят от частоты.

10.2 Энергетические соотношение в цепи синусоидного тока

Предположим, что через участок электрической цепи, который имеет сопротивление Z, проходит ток . Спад напряжения на этом ребре равняется .

Мгновенная мощность, которая поступает в цепь, будет представлять:

.

Эта мощность состоит из двух слагаемых: постоянной величины и синусоидной величины, которая имеет удвоенную частоту. Среднее значение второго слагаемого за время T равняется нулю. Поэтому активная мощность, которая поступает в рассматриваемый участок цепи, будет такой:

. (10.3)

или

, (10.4)

где - полная мощность, которая равняется произведению действующих значений напряжения и тока, которые касаются одного и тот же входа;

- коэффициент мощности, который равняется отношению активной мощности к полной.

При расчетах электрических цепей пользуются также понятием реактивной мощности, которая исчисляется по формуле

(10.5)

и является мерой потребления (или изготовления) реактивного тока.

Измеряется в вольт-амперах реактивных [Вар]. Реактивная мощность есть положительна при (индуктивная нагрузка) и отрицательной при (емкостная нагрузка).

Подадим мощность в комплексной форме. Для этого перейдем от мгновенных значений напряжения и тока к комплексным амплитудам:

; .

Введем понятие комплексно-сопряженных амплитудного и действующего значений тока: i (рис.10.3а). Домножим комплексное действующее значение U на комплексно-сопряженное значение :

.

а) б) в)

Рисунок 10.3

Величина , которая равняется произведению комплексного действующего значения напряжения на комплексно-сопряженное действующее значение тока, носит название комплексной мощности. Комплексная мощность может быть записанна в показательной форме:

, (10.6)

где P - активная мощность; Q - реактивная мощность синусоидного тока, которая равняется мнимой части комплексной мощности. Из (10.6) получается, что модуль комплексной мощности равняется полной мощности, а аргумент - сдвигу фаз между напряжением и током. На основе (10.6) можно построить треугольник мощностей (рис.10.3б). На комплексной плоскости значение соответствует иiпотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого есть P и Q.

Найдем выражение для баланса мощностей в цепи синусоидного тока. В 6.3 было найдено условие баланса мощностей в цепи постоянного тока (6.5)-(6.6), согласно с которой алгебраическая сумма мощностей источников электрической энергии равняется сумме активных мощностей , которые тратятся в сопротивлениях:

.

Можно показать, что в цепи синусоидного тока еще и сумма реактивных мощностей, которые поступают в цепь, равняется сумме реактивных мощностей, которые потребляются, т.е. .

Итак, для синусоидной цепи условие баланса мощностей будет иметь вид:

; ; . (10.7)

10.3 Условие согласования источника с нагрузкой

в цепи синусоидного тока

Пусть необходимо найти комплексное сопротивление нагрузки так, чтобы при заданном комплексном ребре источника обеспечивалась передача максимума активной мощности от источника к нагрузке (рис.10.3в). Активная мощность, которая потребляется нагрузками, представляет . Учитывая, что ; , будем иметь .

Комплексный и сопряженный ток в нагрузке будут равняться:

; .

Тогда

; .

Анализируя выражение для мощности , делаем вывод, что максимальная активная мощность в нагрузке

имеет место при условии . Это первое условие согласования. В 6.3 было показано, что при условии . Тогда .

Итак, условием передачи максимальной активной мощности к нагрузке в цепи синусоидного тока есть условие:

, или .