12

Раздел 2

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

1. Транспортная задача по критерию стоимости

1.1. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме

Рассмотрим простейший вариант модели транспортной задачи (ТЗ). Пусть речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителя к потребителям, при этом имеется баланс между суммарным спросом потребителей и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Потребителям безразлично, из каких пунктов производства будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. Так как от схемы закрепления потребителей за поставщиками существенно зависит объем транспортной работы, возникает задача о наиболее рациональном закреплении, правильном направлении перевозок грузов, при котором потребности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозится, а затраты на транспортировку минимальны.

Транспортную задачу можно сформулировать следующим образом:

В пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах соответственно единиц. Имеющийся груз необходимо доставить потребителям , спрос которых выражается величинами единиц. Известна стоимость перевозки единицы груза из -го пункта отправления в j-й пункт назначения. Удельные транспортные издержки (расходы) записывают в форме матрицы , которую называют матрицей тарифов. Требуется спланировать перевозки, т.е. указать, сколько единиц груза должно быть отправлено от -го поставщика -му потребителю, так, чтобы максимально удовлетворить спрос потребителей и чтобы суммарные транспортные затраты на перевозки были при этом минимальными. Рассмотрим простейший случай, когда суммарные запасы поставщиков равны суммарным потребностям , т.е. наблюдается баланс между спросом и потреблением.

Для составления математической модели задачи введем переменные , обозначающие количество единиц груза, которые необходимо доставить из -го пункта отправления в -й пункт назначения. Все эти переменные можно записать в виде матрицы , которая будет называться матрицей перевозок:

.

В связи с этим ТЗ можно представить в виде таблицы, которую называют распределительной, табл. 1.1. Распределительную таблицу называют иногда табличной или матричной моделью ТЗ.

Таблица 1.1

Поставщики	Потребители				Запас груза, ai
	B1	B2	…	Bn
A1	c11 x11	c12 x12	…	c1n x1n	a1
A2	c12 x12	c22 x22	…	c2n x2n	a2
…	…	…	…	…	…
Am	cm1 xm1	cm2 xm2	…	cmn xmn	am
Потребность в грузе, bj	b1	b2	…	bn

Цель транспортной задачи – минимизировать общие затраты на реализацию плана перевозок, которые можно представить целевой функцией:

. (1.1)

Переменные должны удовлетворять следующим условиям:

1) ограничения по запасам:

(1.2)

2) ограничения по потребностям:

(1.3)

3) условия неотрицательности:

. (1.4)

где – стоимость перевозки единицы груза из -го пункта отправления в -й пункт назначения;

 количество груза, сосредоточенного в пункте ;

 количество груза, необходимое для доставки потребителю .

Если план перевозок удовлетворяет ограничениям (1.2) – (1.4), то такой план называется допустимым. Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции называется оптимальным.

Критерий существования допустимого плана можно представить в виде теоремы.

Теорема 1.1 (о существовании допустимого плана).

Для того чтобы транспортная задача имела допустимые планы, необходимо и достаточно выполнение равенства

. (1.5)

Модель ТЗ называется закрытой, если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется равенство

.

Если для ТЗ выполняется одно из условий:

или ,

то модель задачи называется открытой.

Для разрешимости ТЗ с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую.

Так, при выполнении условия необходимо ввести фиктивный -й пункт назначения , т.е. в матрице задачи предусматривается дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя полагают равным небалансу, т.е. , а все тарифы – одинаковыми, чаще всего равными нулю .

Аналогично, при выполнении условия вводится фиктивный поставщик , у которого запас груза равен , а тарифы дополнительной строки распределительной таблицы равны нулю, т.е. .

При преобразовании открытой задачи в закрытую целевая функция не изменяется, так как все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.