Тема 7.’’Исследование отражения и преломления плоских электромагнитных волн на плоской границе раздела двух однородных диэлектрических сред”.

Для изучения явлений, возникающих при падении плоских электромагнитных волн на плоскую границу раздела двух однородных диэлектрических сред рассмотрим гипотетическую (воображаемую) электродинамическую задачу, содержание и решение которой позволит создать физико-математическую модель реальной физической задачи, связанной с процессами отражения и преломления возникающими при падении электромагнитных волн на границу раздела двух сред.

Сформулируем содержание и выполним решение указанной гипотетической электродинамической задачи. Предположим, что бесконечное пространство заполнено бесконечной вещественной диэлектрической средой. Разделим эту диэлектрическую среду бесконечной плоскостью на две части. Предположим, что одна часть бесконечной диэлектрической среды, которую будем называть первой средой, обладает следующими электромагнитными параметрами: - относительная диэлектрическая проницаемость первой среды; - относительная магнитная проницаемость первой среды; - удельная проводимость первой среды. Предположим также, что первая среда является однородной, линейной, недиспергирующей, изотропной средой.

Далее предположим, что другая часть бесконечной диэлектрической среды, которую будем называть второй средой, обладает следующими электромагнитными параметрами: - относительная диэлектрическая проницаемость второй среды; - относительная магнитная проницаемость второй среды; - удельная проводимость второй среды. Предположим также, что вторая среда является однородной, линейной, недиспергирующей, изотропной средой.

Бесконечную плоскость, разделяющую первую и вторую диэлектрические среды, назовём границей раздела сред. Предположим, что в первой диэлектрической среде распространяется от точки излучения электромагнитная волна, которая подходит к границе раздела сред, или, как говорят, “падает” на границу раздела сред.

При “падении” электромагнитной волны на границу раздела сред с различными электромагнитными характеристиками наблюдаются явления отражения и преломления этой падающей электромагнитной волны. В первой среде, в результате явления отражения падающей электромагнитной волны, появляется отражённая электромагнитная волна, распространяющаяся в точку наблюдения , а во второй среде, в результате явления преломления падающей электромагнитной волны, появляется преломленная электромагнитная волна. Таким образом, считают, что в первой среде существуют падающая и отражённая электромагнитные волны, а во второй среде существует преломлённая электромагнитная волна.

При решении указанной электродинамической задачи необходимо найти соотношения, связывающие между собой величины углов падения , отражения и преломления , а также найти векторы электромагнитного поля отражённой и преломлённой волн, полагая, что известны электромагнитные параметры первой и второй сред, известна величина угла падения, а также известны векторы электромагнитного поля падающей электромагнитной волны.

Решим указанную гипотетическую электродинамическую задачу. Учитывая известные электромагнитные параметры первой среды, можно утверждать, что электромагнитная волна распространяется в первой среде прямолинейно. Мы предположили, что распространяющаяся в первой среде электромагнитная волна “падает” на плоскую границу раздела сред. Направление распространения падающей электромагнитной волны с известными векторами и совпадает с направлением вектора Пойнтинга падающей электромагнитной волны. Предположим, что распространяющаяся в первой среде электромагнитная волна “падает” на плоскость границы раздела сред в точку C (рис.6), отражается и преломляется в этой точке; точку C называют точкой отражения и преломления электромагнитной волны на границе раздела сред. Проведём через точку C прямую p, расположив её перпендикулярно плоскости , являющейся границей раздела сред. Проведём через точку C прямую q, расположив её так, что на этой прямой располагается вектор Пойнтинга падающей электромагнитной волны. Угол между прямой p, расположенной перпендикулярно границе раздела сред, и между прямой q, на которой располагается вектор Пойнтинга падающей электромагнитной волны, назовём углом падения. Предположим, что величина угла падения задана и равна (рис.6). Проведём через прямые p и q плоскость , которую назовём плоскостью падения; эта плоскость перпендикулярна плоскости отражения , т.к. проходит через прямую p, которая перпендикулярна плоскости отражения (рис.6).

Рис.6.

Определим направления распространения отражённой электромагнитной волны в первой среде и преломлённой электромагнитной волны во второй среде. Для этого воспользуемся тремя законами нидерландского астронома и математика Виллеброрда Снеллиуса (1580-1626). Эти законы, применительно к рассматриваемой электродинамической задаче, можно сформулировать следующим образом: - первый закон утверждает, что векторы Пойнтинга падающей электромагнитной волны , отражённой электромагнитной волны и преломлённой электромагнитной волны лежат в одной плоскости; - второй закон утверждает, что величина угла отражения равна величине угла падения; - третий закон утверждает, что произведение синуса угла преломления на показатель преломления второй среды равно произведению синуса угла падения на показатель преломления первой среды, т.е. третий закон Снеллиуса утверждает, что соблюдается равенство:

, (21)

где - показатель преломления первой среды; - показатель преломления второй среды; - величина угла преломления.

Определим положение векторов Пойнтинга отражённой электромагнитной волны и преломлённой электромагнитной волны , учитывая законы Снеллиуса. В соответствии с первым законом Снеллиуса векторы , и должны находиться в одной плоскости, но вектор мы поместили в плоскости падения , которая перпендикулярна плоскости отражения . Следовательно, векторы и тоже должны находиться в плоскости падения , причём вектор должен находиться в первой среде, а вектор должен находиться во второй среде. Определим теперь направление вектора в первой среде, опять-таки учитывая законы Снеллиуса. Для этого проведём в плоскости падения через точку отражения C прямую m, расположив её справа от прямой p под углом отражения, величина которого, в соответствии с первым законом Снеллиуса, должна быть равна величине угла падения. Поместим теперь вектор Пойнтинга отражённой электромагнитной волны на прямой m, направив вектор от точки C вдоль прямой m в первой среде (рис.6). Итак, положение и направление вектора в первой среде определено.

Определим теперь направление вектора во второй среде, опять-таки учитывая законы Снеллиуса. Для этого проведём в плоскости падения через точку преломления C прямую w, расположив её во второй среде справа от прямой p под углом преломления, величина которого, в соответствии с третьим законом Снеллиуса и соотношением (21) должна быть равна:

. (22)

Поместим вектор Пойнтинга преломлённой электромагнитной волны на прямой w, направив вектор от точки C вдоль прямой w во второй среде (рис.6). Итак, положение и направление вектора во второй среде определено.

Теперь, когда мы, используя законы Снеллиуса, определили искомую связь между величинами , и , установим связь между векторами электромагнитного поля падающей, отражённой и преломлённой электромагнитных волн. Предположим, что падающая, отражённая и преломлённая электромагнитные волны являются плоскими и гармоническими, а в плоской гармонической электромагнитной волне вектор должен быть перпендикулярен вектору , т.к. , вектор должен быть перпендикулярен вектору , т.к. , а вектор должен быть перпендикулярен вектору т.к. . Проведём через векторы и плоскость, такую плоскость называют плоскостью поляризации падающей электромагнитной волны. Проведём через векторы и плоскость, это будет плоскость поляризации отражённой электромагнитной волны. Проведём через векторы и плоскость, это будет плоскость поляризации преломлённой электромагнитной волны. В общем случае плоскости поляризации падающей, отражённой и преломлённой электромагнитных волн могут располагаться произвольным образом относительно плоскости падения и могут изменять во времени своё расположение относительно плоскости падения . При этом и векторы , и могут находиться вне плоскости падения и могут изменять во времени своё расположение относительно плоскости падения , т.е. падающая, отражённая и преломлённая электромагнитные волны могут быть, в общем случае, поляризованы линейно, циркулярно или эллиптически.

Однако, известно, что любой вид поляризации электромагнитных волн можно получить в результате суперпозиции двух ортогонально расположенных в пространстве линейно поляризованных электромагнитных волн, поэтому целесообразно рассмотреть два случая отражения и преломления электромагнитных волн.

В первом случае будем полагать, что падающая электромагнитная волна поляризована линейно и вектор напряжённости этой волны расположен в плоскости падения ; такую поляризацию падающей электромагнитной волны будем называть параллельной, т.к. вектор напряжённости этой волны можно считать параллельным плоскости падения ; вектор напряжённости параллельно поляризованной падающей электромагнитной волны будем обозначать как . В первом случае будем полагать также, что отражённая и преломлённая электромагнитные волны тоже параллельно поляризованы, а векторы напряжённости и параллельно поляризованных отражённой и преломлённой электромагнитных волн будем обозначать как и .

Во втором случае будем полагать, что падающая электромагнитная волна также поляризована линейно, а вектор напряжённости этой волны расположен перпендикулярно плоскости падения ; такую поляризацию падающей электромагнитной волны будем называть перпендикулярной; вектор напряжённости перпендикулярно поляризованной падающей электромагнитной волны будем обозначать как . Во втором случае будем полагать также, что отражённая и преломлённая электромагнитные волны тоже перпендикулярно поляризованы, а векторы напряжённости и перпендикулярно поляризованных отражённой и преломлённой электромагнитных волн будем обозначать как и .

Полагая, что известны векторы и падающих плоских гармонических электромагнитных волн параллельной и перпендикулярной поляризаций, определим, используя граничные условия для тангенциальных составляющих указанных векторов, величины (модули) векторов и отражённой волны, а также величины (модули) векторов и преломлённой волны при параллельной и перпендикулярной поляризациях, воспользовавшись формулами французского физика Огюстена Жана Френеля (1788-1827), имеющими вид:

, (23)

, (24)

, (25)

, (26)

где и - величины (модули) векторов и падающей электромагнитной волны при параллельной и перпендикулярной поляризациях; и - величины (модули) векторов и отражённой электромагнитной волны при параллельной и перпендикулярной поляризациях; и - величины (модули) векторов и преломлённой волны при параллельной и перпендикулярной поляризациях; и - коэффициенты Френеля при отражении от границы раздела сред электромагнитных волн соответственно параллельной и перпендикулярной поляризации; и - коэффициенты Френеля при преломлении на границе раздела сред электромагнитных волн соответственно параллельной и перпендикулярной поляризации.

Зная коэффициенты Френеля (23) – (26) при отражении и преломлении электромагнитных волн параллельной и перпендикулярной поляризации на границе раздела сред, можно определить коэффициенты отражения , и преломления , электромагнитных волн параллельной и перпендикулярной поляризации на границе раздела сред как отношение величины (модуля) среднего по времени отражённого от границы раздела сред потока электромагнитной энергии к величине (модулю) падающего потока электромагнитной энергии для коэффициентов отражения и как отношение величины (модуля) среднего по времени преломлённого на границе раздела сред потока электромагнитной энергии к величине (модулю) падающего потока электромагнитной энергии для коэффициентов преломления. С учётом соотношений (23) – (26), выражения для коэффициентов отражения , и преломления , электромагнитных волн параллельной и перпендикулярной поляризации на границе раздела сред будут иметь следующий вид:

, (27)

, (28)

, (29)

, (30)

где учтено, что для рассматриваемого случая отражения и преломления плоской электромагнитной волны параллельной и перпендикулярной поляризации на плоской границе раздела двух идеальных диэлектрических сред, характеризуемых показателями преломления и , для любой поляризации справедливы равенства:

;

; ;

;

.

Из соотношений (23) и (27) следует, что величина коэффициента отражения при параллельной поляризации падающей электромагнитной волны становится равной нулю, если соблюдается условие:

(31).

Воспользовавшись третьим законом Снеллиуса (21), из соотношения (31) можно получить следующие выражения для определения той величины угла падения , при которой коэффициент отражения при параллельной поляризации падающей электромагнитной волны становится равным нулю:

, (32)

, (33)

. (34)

Угол падения, величину которого определяют соотношениями (32) - (34), называют: либо углом Брюстера, либо углом полного преломления, либо углом полной поляризации. Углом Брюстера его называют потому, что впервые величина этого угла экспериментально была измерена в 1815 году шотландским физиком Дейвидом Брюстером (1781-1868). Углом полного преломления его называют потому, что, падая на границу раздела двух сред под этим углом, электромагнитная волна не отражается от границы раздела двух сред, а полностью преломляется во вторую среду. Углом полной поляризации его называют потому, что при падении на границу раздела двух сред под этим углом электромагнитной волны поляризация которой может быть представлена в виде суперпозиции двух ортогональных в пространстве составляющих, одна из которых параллельна плоскости падения, а другая – перпендикулярно плоскости падения, отражённая от границы раздела двух сред электромагнитная волна будет полностью поляризована перпендикулярно плоскости падения, т.к. составляющая параллельная плоскости падения не отражается, при падении под этим углом, от границы раздела двух сред.

Величины , и углов падения, отражения и преломления изменяются в пределах от нуля до .

Из третьего закона Снеллиуса (21) следует, что если и электромагнитная волна распространяется из среды с показателем преломления в среду с показателем преломления , то величина угла преломления всегда будет меньше величины угла падения, если величина угла падения будет больше нуля.

Из третьего закона Снеллиуса (21) следует также, что если и электромагнитная волна распространяется из среды с показателем преломления в среду с показателем преломления , то величина угла преломления всегда будет больше величины угла падения, если величина угла падения будет больше нуля. При этом может наступить такой момент, когда величина угла преломления станет равной , а величина угла падения будет меньше и значение величины угла падения при этом будет определяться из третьего закона Снеллиуса (21) в виде:

, (35)

если учесть, что в соотношении (21) , когда величина угла преломления равна .

Из второго закона Снеллиуса следует, что величина угла отражения всегда равна величине угла падения, следовательно в случае, когда величина угла падения будет определяться из соотношения (35), величина угла отражения также может быть определена из соотношения (35). Итак, если и электромагнитная волна распространяется из первой среды с показателем преломления во вторую среду с показателем преломления , то, падая на границу раздела сред под углом, величина которого определяется из соотношения (35), электромагнитная волна не проникает во вторую среду с показателем преломления , а, отражаясь от границы раздела сред под углом отражения, величина которого также определяется из соотношения (35), полностью остаётся в пределах первой среды; поэтому такой угол отражения, величину которого определяют из соотношения (35), называют углом полного внутреннего отражения.

Из соотношений (27) – (30) следует, что если соблюдается условие:

, (36)

то справедливы равенства:

, т.е. , (37)

, т.е. , (38)

, т.е. даже, если ,(39)

, т.е. даже, если . (40)

Следует иметь в виду, что соотношения (37) – (40) практически соблюдаются, если первая среда является диэлектриком, а вторая среда является металлом (достаточно считать металлом границу раздела сред). Соотношения (37) – (38) могут быть использованы при экспериментальном определении и , когда для определения и будут экспериментально определяться и , а границей раздела будет служить металлическая пластина.

В табл.1 представлены величины , , , и , вычисленные по формулам (22) и (27) – (30) при в предположении, что первой средой является идеальный диэлектрик-вакуум, имеющий показатель преломления , а второй средой является реальный диэлектрик-фторопласт, имеющий в диапазоне частот от 10 ГГц до 25 ГГц показатель преломления . На рис.7 представлены графики функций , , и , построенные по данным табл.1. Величина угла Брюстера определена из соотношения (34) и равна (при и ):

.

Табл.1.

; ; ; 4 3 2 1

1 - ;

2 - ;

3 - ;

4 - .

Рис.7.