§5. Простейшие типы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет следующий вид

(5.1)

Случай 1. Уравнение (5.1) удаётся разрешить относительно и получить одно или несколько дифференциальных уравнений вида

(5.2)

Интегрируем (5.2) и, объединяя все решения, получаем решение (5.1).

Пример 11. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(5.3)

Разрешаем это квадратное относительно уравнение и получаем

Интегрируем каждое из полученных уравнений и находим

1. (5.4)

2. (5.5)

Итак, решения (5.3):

Замечание. Гладкими интегральными кривыми уравнения (5.3) будут также кривые, составленные из дуги кривой (5.4) и дуги кривой (5.5), если в общей точке они имеют общую касательную.

Например, интегральная линия уравнения (5.4) и интегральная линия уравнения (5.5) имеют общую касательную в точке O(0,0) (рис. 7). И функция является интегральной линией уравнения (5.3).

y

х

Рис. 7

y

х

Или, например, в точке

М(1,1) (рис. 8).

Рис 8

Функция является решением уравнения (5.3).

Далеко не всегда уравнение (5.1) легко разрешить относительно и еще реже полученные уравнения удаётся легко проинтегрировать, поэтому интегрировать приходится и иными методами.

Случай 2. Уравнение (5.1) можно разрешить относительно :

(5.6)

Введем параметр , - уравнение (5.6) запишется в виде

(5.7)

Возьмем полный дифференциал от обеих частей (5.7) и заменим на , интегрируем и находим . Семейство решений исходного уравнения (5.6) находим в параметрической форме:

Уравнения вида интегрируются тем же способом.

Пример 12 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(5.8)

Полагаем , тогда .

Далее имеем

Решение (5.8) в параметрической форме

(5.9)

, С∈R , p≠0.

Потерянные решения. Делили на , т.е. на

Уравнению (5.8) удовлетворяют функции только при

Функция входит в (5.9) при

Тема 2. Метрические пространства §1. Аксиоматическое определение метрического пространства. Примеры.

Определение 1. Пусть – произвольное множество. задана однозначная действительная неотрицательная функция (каждому поставлено в соответствие число , удовлетворяющая трём аксиомам:

1. 

2. 

3. +

Пара называется метрическим пространством, а элементы X – точками метрического пространства.

Пример 1.

– множество действительных чисел. Расстояние между двумя действительными числами определено равенством:

Проверим выполнение аксиом.

Аксиома 1):

Обратное:

, ­­–

следовательно, аксиома 1 справедлива.

Аксиома 2):

, –

и аксиома 2 справедлива.

Аксиома 3):

+

Аксиома 3 справедлива – метрическое пространство.

Упражнение 1.

– множество действительных чисел. Полагаем, что

Показать, что – метрическое пространство.

Пример 2.

Полагаем, что

Аксиомы 1) и 2), очевидно, выполняются.

Аксиома 3):

Случай 1: . Тогда

Случай 2: . Тогда

Случай 3: . Тогда

Случай 4:

Аксиома 3) выполняется во всех четырех случаях.

Отсюда следует, что – метрическое пространство «изолированных точек».

Пример 3.

– множество (Rⁿ) всех упорядоченных наборов n-действительных чисел: . Полагаем, что если , то ,

Аксиома 1):

Обратное: Пусть

Аксиома 2): Следовательно, аксиома 2) выполняется.

Аксиома 3):

– следовательно, аксиома 3) выполняется и – метрическое пространство «кортежей».

Пример 4.

– множество всех упорядоченных наборов n действительных чисел .

Полагаем, что

Аксиома 1):

= 0

Обратное:

Пусть . Тогда

= 0 и , –

аксиома 1) выполняется.

Аксиома 2):

и аксиома 2) выполняется.

Аксиома 3):

Аксиома 3) выполняется, следовательно ­­– метрическое пространство.

Замечание. Один и тот же набор точек можно превратить в метрическое пространство разными способами.

Пример 5.

– множество всех непрерывных на [a,b] функций.

Полагаем

Аксиома 1):

По теореме Вейерштрасса

x_­­­0 (x₀) (x₀)

(x₀) ) (x₀) ,

аксиома 1 справедлива.

Обратное:

Пусть

и, следовательно,

Аксиома 2):

Следовательно, аксиома 2 справедлива.

Аксиома 3):

Пусть h(x) - непрерывная функция на [a,b]

(x₀) (x₀) (x₀) (x₀) (x₀) (x₀)

(x₀) (x₀) (x₀) (x₀)

Следовательно, аксиома 3 справедлива – метрическое пространство.

Упражнение 2.

– множество всех непрерывных на [a,b] функций.

Положим

Показать, что –метрическое пространство.

Лемма 1.

Пусть

Доказательство.

Рассмотрим функцию

При

и

график функции

Обозначим

Пусть

Таким образом:

И неравенство (1.1) выполняется.

Лемма 2. (Неравенство Гёльдера для сумм).

Пусть , p>1, q – сопряжено с р ( ), тогда

. (1.2)

Доказательство. Неравенство (1.2) однородно, т.е., если (1.2) выполняется для a и b, то – действительных оно выполняется для В самом деле, пусть (1.2) справедливо для . Рассмотрим

.

Имеем

= ≤ =

= =

и неравенство (1.2) справедливо для .

Таким образом, мы можем доказать (1.2) для таких, что

(1.3).

(Если , а , то , и , , и доказав (1.2) для , удовлетворяющих (1.3), в силу однородности (1.2) вместо возьмем , где и ).

Итак, пусть выполняется (1.3).

Полагаем в лемме 1 , и получаем

. (1.4)

Просуммируем (1.4) по k=1,…,n:

,

и неравенство (1.2) для случая, когда выполняется (1.3), справедливо, - лемма 2 доказана.

При p = 2 имеем

или

- неравенство Коши - Буняковского.

Напоминание. - превращается в евклидово, если задать скалярное произведение

и .

Было доказано неравенство Коши - Буняковского: .

Пример 7. Х – множество всех упорядоченных наборов n чисел x=(x₁,…,x_n).

.

Аксиомы 1) и 2) очевидны.

=

= = ≤ = =>

=> – и аксиома 3) справедлива = > ( ) – метрическое пространство.

Лемма 3. (Неравенство Гёльдера для интегралов).

Пусть p > 1, q – сопряжено с p, функции таковы, что существуют интегралы

и и , .

Тогда функция интегрируема на [a,b] и имеет место оценка

. (Без доказательства).