§4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения

Дифференциальных уравнений, интегралы которых находятся в результате конечной последовательности элементарных действий и дальнейшего интегрирования, немного. ( Уже уравнение Риккати не сводится к квадратурам). Поэтому большое значение приобретают приемы приближённого решения дифференциальных уравнений. Но прежде, чем приближенно находить решение, нужно убедиться, что оно существует.

Задача Коши для дифференциального уравнения ставится следующим образом.

Требуется найти решение дифференциального уравнения

(4.1)

удовлетворяющее начальному условию

(4.2)

Теорема 1. (о существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть в уравнении (4.1)

1) функция непрерывна в области G: x₀–a ≤ x ≤ x₀+a; 𝑦₀–b ≤ 𝑦 ≤ 𝑦₀+b;

2) функция удовлетворяет условию Липшица по переменной 𝑦:

.

Тогда существует и притом единственное в промежутке решение уравнения (4.1), удовлетворяющее начальному условию (4.2),

где

Доказательство Теор.1 приведено ниже. (см. § в Теме 2)

Замечание 1 (к условию Теор.1). Интегральная линия, удовлетворяющая условию (т.е. проходящая через точку может выйти за пределы области G (Рис. 4),

Рис. 4

поэтому мы утверждаем существование решения в более узком промежутке .

Замечание 2. Условие Липшица можно заменить более "грубым", но легче проверяемым условием ограниченности в области G.

В самом деле, пусть , и пусть , тогда по теореме Лагранжа и условие Липшица по переменной 𝑦 выполняется.

Пример 10. Рассмотрим уравнение:

(4.3)

Функция непрерывна в любой области G , не содержащей начала координат O(0, 0).

Функция - ограничена в любой области G, не содержащей O(0, 0) ⟹ через любую точку области G, не содержащей O(0,0) проходит одна и только одна интегральная линия уравнения (4.3).

Проинтегрируем (4.3):

Ось o𝑦 является интегральной линией уравнения , хотя не служит графиком решения (договорились рассматривать уравнение в тех точках, в которых теряет смысл. Функция - решение уравнения ).

Итак, все решения (4.3) 𝑦=Сx , С -любое действительное число и линия x≡0. (Рис. 5).

Рис. 5

Через точку O(0,0) проходит бесчисленное множество решений уравнения (4.3), что никак не противоречит Теор.1.

Так как уравнение (4.3) не определяет поля направлений в O(0,0) правильнее было бы считать интегральными линиями не прямые у=Сx, а полупрямые, выходящие из начала координат.

При доказательстве Теор.1 дифференциальное уравнение с начальным условием заменяют эквивалентны интегральным уравнением:

(4.4)

Доказательство Теоремы 1 дает и метод построения приближённого решения.

Метод ломаных Эйлера заключается в том, что решение (интегральная кривая) проходящее через точку , ищется как предел последовательности ломаных.

Отрезок , если решение находим в точке x=С, делим на n равных частей точками , длина каждой части называется шагом h разбиения, .

Для вычисления заменяем кривую на , отрезком касательной, проведённой в точке , (Рис. 6).

Рис. 6

Имеем , или , и далее полагаем:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При последовательность ломаных Эйлера сходится к решению , проходящему через точку .

Подчеркнём, что мы изложили только алгоритм метода ломаных Эйлера, опуская его обоснование.