Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

На каждом шаге число «дисбалансов» уменьшается на единицу. Следовательно, число шагов алгоритма не превышает числа «дисбалансов», которое конечно.

Аналогичным способом можно решить любую транспортную задачу (искать кратчайший путь из множества вершин, в которые доставили товара больше, чем требуется, во множество вершин, где товара не хватает).

Решение общего случая задачи о потоке минимальной стоимости основывается на рассмотрении двойственной задачи [7, 17].

П.2.5. Задачи календарно-сетевого планирования и управления

Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ). Технологическая зависимость между операциями задается в виде сети (сетевого графика). При этом дуги сети соответствуют операциям, а вершины – событиям (моментам окончания одной или нескольких операций). Для каждой операции (i; j) задана ее продолжительность tij. Методы описания и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [7, 11].

Задача определения продолжительности проекта

(управление временем). Легко видеть, что продолжительность проекта определяется путем максимальной длины, называемым критическим путем. Методы поиска пути максимальной длины описаны выше. Критический путь в сети на рисунке П.2.6 выделен двойными дугами и равен 16.

Операции, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Остальные (некритические) операции имеют резерв времени, характеризуемый максимальной задержкой операции, при которой продолжительность

511

проекта не изменяется. Критические операции имеют нулевой резерв. Приведем соответствующие формулы.

Рис. П.2.6. Поиск критического пути

Алгоритм 9. Предположим, что выполнение комплекса операций (проекта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим Q0 – множество событий, не требующих выполнения ни одной из операций, то есть входы сети с правильной нумерацией; Qi – множество событий, непосредственно предшествующих событию i, то есть множество вершин j сети, для которых существует дуга (j; i).

Положим

нем) свершения i-го события и характеризует время, раньше которого это событие произойти не может.

Длина критического пути

определяется ранним временем свершения конечного события, то есть события, заключающегося в завершении всех операций.

Поздним моментом ti+ свершения события называет-

ся максимальное время его наступления, не изменяющее продолжительности проекта.

512

Обозначим Ri – множество событий, непосредственно следующих за событием i, то есть множество вершин j сети, для которых существует дуга (i; j). Вычислим для каждой вершины-события i длину li максимального пути от этой вершины до выхода сети – события, заключающегося в завершении всего комплекса операций:

j Ri

Положим ti+ = T – li, i = 1, n .

Для завершения проекта за время T необходимо и достаточно, чтобы событие i произошло не позднее момен-

та ti+ , i = 1, n .

Полным резервом ti события i называется разность между его поздним и ранним моментами свершения, то есть

Очевидно, полный резерв критических событий (событий, принадлежащих критическому пути) равен нулю.

Задачи распределения ресурса на сетях удобно рас-

сматривать, изображая операции вершинами сети, а зависимости – дугами (представления «операции-дуги, собы- тия-вершины» и «зависимости-дуги, операции-вершины» эквивалентны [7]). Пунктиром могут быть отражены ресурсные зависимости – когда для выполнения одних и тех же операций должны быть использованы одни и те же ресурсы. Примером могут являться сети, изображенные на рисунках П.2.6 и П.2.7.

Полным резервом операции (i; j) называется вели-

ния) операции, а tijр – ранний срок начала (окончания) операции.

513

Для определения оптимального распределения ресурса необходимо найти критические пути для каждого из вариантов распределения ресурса и сравнить длины этих путей (в сети, приведенной на рис. П.2.7, существует общий для операций «0–1» и «0–2» ресурс; потенциалы вершин, соответствующие различным способам использования этого ресурса, – сначала выполняется операция «0–1», затем «0–2» и наоборот, приведены на рис. П.2.7 соответственно в квадратных скобках и без скобок).

Универсальных эффективных точных методов решения задач распределения ресурсов на сетях не существует. В качестве частного случая, для которого существует простой алгоритм, приведем следующий пример.

В сети, изображенной на рисунке П.2.8, для трех операций известны поздние времена окончания τi. Требуется определить очередность выполнения этих трех операций при условии, что все операции выполняются одной единицей ресурса и поэтому не могут выполняться одновременно.

Рис. П.2.7. Представление «операции-вершины»

514

нимизирующего время завершения проекта, не существует. Поэтому рассмотрим несколько частных случаев.

Пусть все операции независимы и выполняются ресурсом одного вида, количество которого равно R, а fi (vi) – непрерывные строго монотонные вогнутые функции. Тогда существует оптимальное решение, в котором каждая операция выполняется с постоянной интенсивностью и все операции заканчиваются одновременно в момент времени T, определяемый как минимальное время, удовлетворяющее следующему неравенству:

ån fi −1( wi ) £ R , i=1 T

где fi−1 (×) – функция, обратная функции fi (×), i = 1, n [7].

Эвристические алгоритмы определения оптимального распределения ресурса для ряда случаев «невогнутых» функций интенсивности рассматриваются в [7, 11, 13].

Обширный класс задач КСПУ составляют задачи агрегирования – представления комплекса операций (проекта) в виде одной операции и исследования свойств таких представлений, для которых оптимизация в рамках агрегированного описания дает решение, оптимальное для исходного (детального) описания. Основные подходы к постановке и решению задач агрегирования рассматриваются в [7, 11, 13].

516

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

В настоящем приложении рассматривается аппарат описания предпочтений участников организационных систем – отношения предпочтения и функции полезности.

Отношения предпочтения. Как отмечалось в пер-

вой главе, в основе теории принятия решений лежит предположение, что человек, поставленный перед проблемой выбора, в процессе выработки решения (выбора альтернативы) руководствуется своими предпочтениями, то есть выбирает действие, которое, по его мнению, приведет к наиболее предпочтительному для него результату деятельности (исходу). Формальное описание процесса сравнения альтернатив может быть дано через отношения предпочтения и неразличимости. Введем необходимые определения [25].

Бинарное отношение на множестве A0 – это подмножество A0 × A0, где A0 × A0 – множество всех упорядоченных пар (a, b) , a, b A0 . Если (a, b) , говорят,

что отношение выполнено (или имеет место) для (a, b)

и пишут a b.

Если бинарное отношение не имеет места для a, b, этот факт обозначается a cb.

Отношение предпочтения f – это бинарное отноше-

ние, определяемое свойством: a f b тогда и только тогда, когда a предпочтительнее (лучше) для лица, принимающего решение, чем b.

Отношение неразличимости ≈ имеет место для па-

ры a, b тогда и только тогда, когда a fс b и b fс a .

517

Отношение называется рефлексивным, если для всех a A0 выполнено a a, антирефлексивным, если для всех a A0 выполнено a ca.

Отношение называется антисимметричым, если

из a b и b a следует a = b , асимметричным, если из a b следует b ca.

Далее рассматривается отношение строгого предпочтения f , для которого выполнено условие асимметричности.

Отношение называется транзитивным, если для всех a, b, c A0 из a b и b c следует a c.

Отношение называется полным, если для всех a, b A0 выполнено a b или b a.

Пусть на множестве исходов A0 задано предпочтение ЛПР, то есть отношение типа f , которое для пары a, b исходов из A0 выполняется, если a лучше b с точки зрения лица, принимающего решение. Определим также множество действий A. Это множество содержит все возможные действия ЛПР и состоит из элементов вида «Сделать тото», «Приказать то-то», «Купить то-то» и пр.

Однако определением множеств A0, A и отношения предпочтения на A0 формулировка задачи принятия решения не исчерпывается. Необходимо определить еще связь между принятым решением и реализующимся результатом.

Задача принятия решения – это задача выбора ЛПР действия из множества A, которое приводит к наилучшему с точки зрения предпочтения ЛПР результату из A0. Чтобы решить эту задачу, необходимо тем или иным образом из отношения предпочтения на множестве исходов A0 вывести отношение предпочтения на множестве действий A, а затем выбрать наиболее предпочтительное действие.

Пусть имеется некоторая функция w: A → A0 – детерминированное (однозначное) соответствие между выбран-

518

ным действием и его результатом. В этом случае выбор действия равнозначен выбору результата. Задача, таким образом, состоит лишь в нахождении реализуемого исхода (то есть исхода, для которого есть действие, его реализующее), предпочтительного по отношению ко всем остальным реализуемым исходам. Выбранное действие будет принадлежать множеству:

P(f, A) = {a Î A | $ b Î A : w(b) f w(a)} .

Все действия, принадлежащие решению, приводят к исходам, равнозначным с точки зрения отношения ≈ .

Такая задача называется детерминированной задачей принятия решения.

Сложнее дело обстоит, если результат z действия y зависит не только от самого действия ЛПР, но и от внешних по отношению к ЛПР факторов, то есть зависимость результата от действия имеет вид z = w (y, θ, u), где θ и u – факторы, не зависящие от ЛПР. Множества возможных значений этих параметров обозначим Q и U соответственно. Если эти факторы известны на момент принятия решения, задача сводится к предыдущему случаю. Если же они не известны, возникает неопределенность.

Теперь уже выбор ЛПР некоторого действия y* не приводит к единственному возможному результату. В зависимости от реализации не зависящих от ЛПР факторов θ и u

может реализоваться любой результат из множества R(y* ) = {w (y*, θ, u) | θ Î Q, u Î U}. Чтобы сделать выбор,

ЛПР необходимо сравнивать эти множества. Однако отношение предпочтения на системе множеств R(×) не задано условиями задачи. Его необходимо получать (возможно, используя некоторые дополнительные предположения) из отношения предпочтения на множестве результатов A0.

Так, если известно распределение вероятностей реализации событий из Q и U, то можно определить вероятно-

519