Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

Будем говорить, что структура информированности I,

ν(I) < ¥, имеет конечную глубину γ = γ (I), если

1)для любой структуры Iσ, σ Î S+, найдется тождественная ей структура Iτ, τ Î S+, |τ| £γ ;

2)для любого целого положительного числа ξ, ξ <γ , существует структура Iσ, σ Î S+, не тождественная никакой

из структур Iτ, τ Î S+, |τ| =ξ .

Если ν (I) = ¥, то и глубину будем считать бесконеч-

ной: γ (I) = ¥.

Понятия сложности и глубины структуры информированности игры можно рассматривать τ-субъективно. В частности, глубина структуры информированности игры с точки зрения τ-агента, τ Î S+, называется рангом рефлексии τ-агента.

Если задана структура I информированности игры, то тем самым задана и структура информированности каждого из агентов (как реальных, так и фантомных). Выбор τ- агентом своего действия xτ в рамках гипотезы рационального поведения определяется его структурой информированности Iτ , поэтому, имея перед собой эту структуру, можно смоделировать его рассуждения и определить это его действие. Выбирая свое действие, агент моделирует действия других агентов (осуществляет рефлексию). Поэтому при определении исхода игры необходимо учитывать действия как реальных, так и фантомных агентов.

Набор действий xτ*, τ Î S+, назовем информационным равновесием [57], если выполнены следующие условия:

1) структура информированности I имеет конечную сложность ν;

2)λ, μ Σ Iλi = Iμi Þ xλi* = xμi*;

3)" i Î N, " σ Î S

480

Первое условие в определении информационного равновесия означает, что в рефлексивной игре участвует конечное число реальных и фантомных агентов.

Второе условие отражает требование того, что одинаково информированные агенты выбирают одинаковые действия.

И наконец, третье условие отражает рациональное поведение агентов – каждый из них стремится выбором собственного действия максимизировать свою целевую функцию, подставляя в нее действия других агентов, которые оказываются рациональными с точки зрения рассматриваемого агента в рамках имеющихся у него представлений о других агентах.

Удобным инструментом исследования информационного равновесия является граф рефлексивной игры, в котором вершины соответствуют реальным и фантомным агентам, и в каждую вершину-агента входят дуги (их число на единицу меньше числа реальных агентов), идущие из вер- шин-агентов, от действий которых в субъективном равновесии зависит выигрыш данного агента.

Одной из особенностей «классического» равновесия Нэша является его самоподдерживающийся характер – если игра повторяется несколько раз и все игроки кроме i-го выбирают одни и те же равновесные действия, то и i-му нет резона отклоняться от своего равновесного действия. Это обстоятельство очевидным образом связано с тем, что представления всех игроков о реальности адекватны – значение состояния природы является общим знанием.

В случае информационного равновесия ситуация, вообще говоря, может быть иной. Действительно, в результате однократного разыгрывания игры может оказаться, что какие-то из игроков (или даже все) наблюдают не тот результат, на который они рассчитывали. Это может быть связано как с неверным представлением о состоянии при-

481

роды, так и с неадекватной информированностью о представлениях оппонентов. В любом случае самоподдерживающийся характер равновесия нарушается – если игра повторяется, то действия игроков могут измениться.

Однако в некоторых случаях самоподдерживающийся характер равновесия может иметь место и при различных (и, вообще говоря, неверных) представлениях агентов. Говоря неформально, это происходит тогда, когда каждый агент (как реальный, так и фантомный) наблюдает тот результат игры, которого ожидает.

Для формального изложения дополним кортеж, задающий рефлексивную игру, набором функций wi (×): W ´ X′ ® Wi, i Î N, каждая из которых отображает вектор (q, x) в элемент wi некоторого множества Wi. Этот элемент wi и есть то, что i-й агент наблюдает в результате разыгрывания игры.

Функцию wi (×) будем называть функцией наблюдения i-го агента [56]. Будем считать, что функции наблюдения являются общим знанием среди агентов.

Если wi (q, x) = (q, x), то есть Wi = W ´ X′, то i-й агент наблюдает как состояние природы, так и действия всех

агентов. Если, напротив, множество Wi состоит из одного элемента, то i-й агент ничего не наблюдает.

Пусть в рефлексивной игре существует информационное равновесие xτ , t Î S+ (напомним, что t – произвольная непустая конечная последовательность индексов из N). Зафиксируем i Î N и рассмотрим i-го агента. Он ожидает в результате игры пронаблюдать величину

wi (qi, xi1, …, xi, i–1, xi, xi, i+1, …, xin).

На самом же деле он наблюдает величину

wi (q, x1, …, xi–1, xi, xi+1, …, xn).

Поэтому требование стабильности для i-агента означает совпадение этих величин.

482

В общем случае, то есть для τi-агента, τi Σ+, условие стабильности определим следующим образом. Информационное равновесие xτi , τi Σ+, будем называть стабильным при заданной структуре информированности I, если для любого τi Σ+ выполняется

wi (θτi, xτi1, …, xτi, i–1, xτi, xτi, i+1, …, xτin) =

= wi (θτ, xτ1, …, xτ, i–1, xτi, xτ, i+1, …, xτn).

Информационное равновесие, не являющееся стабильным, будем называть нестабильным.

Пусть набор действий xτi, τi Σ+, является стабильным информационным равновесием. Будем называть его истинным равновесием, если набор (x1, …, xn) является равновесием в условиях общего знания о состоянии природы θ (или о наборе (r1, …, rn) типов агентов). Из приведенного определения, в частности, следует, что в условиях общего знания любое информационное равновесие является истинным.

Стабильное информационное равновесие, не являющееся истинным, назовем ложным. Таким образом, ложное равновесие – это такое стабильное информационное равновесие, которое не является равновесием в случае одинаковой информированности агентов (в условиях общего знания).

483

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Теория графов в качестве теоретической дисциплины76 может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств (бесконечные графы мы рассматривать не будем) с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие технические, экономические, биологические и социальные системы.

Задача настоящего приложения заключается в том, чтобы, следуя в основном [11], изложить основные понятия и результаты теории графов, необходимые для постановки и решения задач управления организационными системами.

Изложение материала имеет следующую структуру. В первом разделе вводятся основные понятия, во втором рассматриваются задачи о максимальных путях и контурах на графах, в третьем – свойства псевдопотенциальных графов, в четвертом – задачи о максимальном потоке, в пятом – задачи сетевого планирования и управления.

П.2.1. Основные понятия теории графов

Граф – система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяю-

щих их линий (геометрический способ задания графа –

рис. П.2.1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами. Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии

76 Начало теории графов датируют 1736 годом, когда Л. Эйлер решил популярную в то время «задачу о кенигсбергских мостах». Термин «граф» впервые был введен спустя 200 лет (в 1936 г.) Д. Кенигом.

484

являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами), называется ориентированным.

Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее, теории множеств), и формальное определение графа таково: задано конечное множество X, состоящее из n элементов (X = {1, 2, ..., n}), называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения X × X, то есть V X2, называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом G называется совокупность (X, V) (неориентированным графом называется совокупность множества X и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству X). Дугу между вершинами i и j, i, j X, будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать m

(V = (v1, v2, ..., vт)).

вершина

Рис. П.2.1. Пример графа

Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Приведем ряд примеров приложений теории графов.

1. «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами – дороги (автомобиль-

485

ные, железные и др.) и/или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и др.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т. д.). Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и так далее, иногда называется задачами обес-

печения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках [7, 17].

2.«Технологические задачи», в которых вершины от-

ражают производственные элементы (заводы, цеха, станки

ит. д.), а дуги – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков [7, 17].

3.Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачеты и т. д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги – потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена, и согласованной с интересами участников цепочки

исуществующими ограничениями [6, 11, 31].

4.Управление проектами77. С точки зрения теории графов проект – совокупность операций и зависимостей между ними (сетевой график – см. ниже). Хрестоматий-

77 Управление проектами – раздел теории управления, изучающий методы и механизмы управления изменениями (проектом называется целенаправленное изменение некоторой системы, осуществляемое в рамках ограничений на время и используемые ресурсы; характерной чертой любого проекта является его уникальность, то есть нерегулярность соответствующих изменений).

486

ным примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название

календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [7, 29]. В рамках КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат, риска и др.).

5.Модели коллективов и групп, используемые в со-

циологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и др.) – в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности взаимодействия и др.

6.Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы,

аребрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними [19, 50].

Завершив краткое описание прикладных областей,

вернемся к введению основных понятий теории графов.

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если из графа удалить часть ребер (дуг), то получим частичный граф.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) – инцидентным соответствующим вершинам.

487

Путем называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая что конец одной дуги является началом другой. Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды. Элементарный путь – путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды. Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной. Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Граф, для которого из (i, j) V следует (j, i) V называется симметрическим. Если из (i, j) V следует, что (j, i) V, то соответствующий граф называется антисим-

метрическим.

Цепью называется множество ребер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. По аналогии с простым и элементарным путем, можно опре-

делить соответственно простые и элементарные цепь и цикл. Любой элементарный цикл является простым, обратное утверждение в общем случае неверно. Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа, называется гамильтоновой цепью (соответственно – циклом, путем, контуром). Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все ребра (дуги) графа, называется эйлеровой цепью (соответственно – циклом, путем, контуром).

Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами. Связностью графа называется минимальное число ребер, после удаления которых граф становится несвязным. Если любые две вершины ориентированного графа можно соединить путем, то граф называется сильно связным. Известно, что связность графа

488

не может быть больше, чем [2m / n], где [x] – целая часть числа x; существуют графы с n вершинами и m ребрами, имеющие связность [2m / n]; в сильно связном графе через любые две вершины проходит контур [7, 26].

Связный граф, в котором существует эйлеров цикл,

называется эйлеровым графом.

В неориентированном графе степенью вершины i называется число di инцидентных ей ребер. Очевидно, di ≤ n – 1, i X. Граф, степени всех вершин которого равны n – 1, называется полным. Граф, все степени вершин которого равны, называется однородным.

Вершина, для которой не существует инцидентных ей ребер (di = 0), называется изолированной. Вершина, для которой существует только одно инцидентное ей ребро (di = 1), называется висячей.

Известно, что: ådi = 2 m (данное выражение назы-

i X

вается «леммой о рукопожатиях» – поскольку в каждом рукопожатии участвуют две руки, то при любом числе рукопожатий общее число пожатых рук четно (при условии, что каждая рука учитывается столько раз, в скольких рукопожатиях она участвовала)); в любом графе число вершин нечетной степени четно.

Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны (теорема Эйлера). Обозначим nk – число вершин, имеющих степень k,

k = 0, 1, 2, ... Известно, что åk nk = 2 m [7, 26].

k: nk >0

Для ориентированных графов для каждой вершины можно ввести два числа – полустепень исхода di+ (число

выходящих из нее вершин) и полустепень захода di− (чис-

ло входящих в нее вершин). В дальнейшем, если не оговорено особо, будем рассматривать графы без петель, то есть

489