
Производная по направлению
Пусть
снова функция
задана
в области
и
имеет во всех точках
частные
производные по всем переменным
.
Предположим, что все частные
производные
непрерывны
в точке
.
Тогда функция
дифференцируема
в точке
,
то есть приращение функции
имеет
главную линейную часть, которая равна
дифференциалу:
где
--
величина большего порядка малости
при
,
чем
.
Напомним, что
так что получаем
|
(8.1) |
Фиксируем
теперь в
какое-нибудь
направление, выбрав задающий его
ненулевой вектор
Через
точку
в
направлении вектора
проходит
некоторая ось
.
(Напомним, что осью называется
прямая с выбранным на ней направлением,
то есть выбранным порядком следования
точек.) Точки
этой
оси можно задать параметрическими
уравнениями:
или,
в векторном виде,
,
где
и
увеличению значений параметра
соответствует
движение точки
оси
в
направлении вектора
.
Обозначим
ту
часть оси
,
которая состоит из точек оси, следующих
после
,
то есть точек луча
,
получающегося при
.
Определение 8.2 Значение предела
называется производной функции
по
направлению оси (или луча)
(илипо
направлению вектора
),
вычисленной в точке
.
Производная по направлению
обозначается
или
Смысл
определения производной по направлению --
в том, что она задаёт мгновенную
скорость изменения
значений функции
при
прямолинейном и равномерном движении
точки
вдоль
оси
в
момент
.
Заметим,
что если направление оси
совпадает
с направлением одной из координатных
осей
,
то производная функции
по
такому направлению, очевидно, равняется
(правой) производной функции
по
соответствующей переменной
.
Если существует (двусторонняя) частная
производная по
,
то получаем, что
если
.
Используя
параметризацию точки на луче
вида
и
замечая, что условие
означает,
что
,
получаем:
Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):
|
|
Отсюда
|
|
|
|
Здесь
в правой части первые
слагаемых
не зависят от
.
Поскольку
при
,
то последний предел равен 0, так как
--
величина большего порядка малости,
чем
.
Итак, получили формулу
С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления .
Заметим,
что в правой части полученной формулы
первый множитель каждого слагаемого --
это компонента вектора
,
а второй множитель -- компонента
вектора
.
Этот вектор лишь длиной отличается от
вектора
;
направление его, очевидно, то же, что
у
.
Длина вектора
равна
1:
Поэтому
компоненты вектора
--
это направляющие
косинусы --
косинусы углов
между
осью
и
осями координат
:
где
--
единичный направляющий вектор оси
,
,
а точкой
обозначено
скалярное произведение векторов
и
.
Таким образом, имеет место следующая
теорема, выражающая связь между
производной по направлению, градиентом
и единичным направляющим вектором оси:
Теорема 8.1 Если
все частные производные
функции
непрерывны
в точке
и
направление оси
задано
вектором
,
то
где
--
единичный направляющий вектор оси
,
или
где
--
углы между осью
и
осями
.