3.2 Определение собственных частот и форм колебаний

В предыдущем разделе было показано, что приведение при помощи одного линейного преобразования кинетической и потенциальной энергий к каноническому виду полностью решает задачу свободных колебаний рассматриваемых систем. Однако указанный подход, несмотря на кажущуюся простоту, не позволяет в большинстве случаев получить решение в простом виде, поэтому интегрирование системы дифференциальных уравнений (2.3.2) удобней производить путем нахождения частных решений этой системы, соответствующих главным колебаниям (3.1.12) или (3.1.13). В случае, когда система совершает одно из главных колебаний в соответствии с формулой (3.1.12), все обобщенные координаты q_k(t) изменяются по одному гармоническому закону с частотой p, которая априори считается неизвестной:

(3.2.1)

Подставляя это выражение в уравнения (2.3.2), получим систему однородных алгебраических уравнений относительно вектора неизвестных амплитуд и частот p

(3.2.2)

Исходя из условия нетривиальности решений определитель системы (3.2.2) должен равняться нулю:

(3.2.3)

В скалярной форме полученные уравнения (3.2.2) и (3.2.3) будут иметь вид :

; (3.2.4)

. (3.2.5)

Из уравнений (3.2.3) или (3.2.5) определяются неизвестные частоты колебаний p, а из уравнений (3.2.2) или (3.2.4) соответствующие этим частотам амплитуды _k .

Уравнение (3.2.3) или (3.2.5) представляет уравнение n-й степени относительно p² и называется уравнением частот или вековым уравнением. Это уравнение при условии положительности потенциальной энергии [1,4] имеет в общем случае n положительных, но не обязательно различных значений квадратов собственных частот p_i² , которым соответствуют вещественные положительные частоты и вещественные амплитуды , .

Предположим, что все p_i различны и расположены в порядке возрастания p₁ < p₂  < p_n. По известным собственным частотам из систем (3.2.3) или (3.2.5) можно для каждого p_i определить вектор амплитуд из системы линейных однородных уравнений относительно :

(3.2.6)

или

(3.2.7)

В случае, если p² = p_i², определитель системы (3.2.6) или (3.2.7) равен нулю и одно из уравнений указанных систем является следствием остальных и имеет лишь (n-1) линейных однородных уравнений для определения n неизвестных амплитуд. Произвольно задав одно из значений амплитуд _ki (например, положив _1i=1) и отбросив одно из уравнений системы (3.2.7), можно определить из оставшихся уравнений все остальные амплитуды. Такой прием позволяет найти не точные значения амплитуд _ki , а отношения между ними , которые называются формой колебаний. Таким образом, для каждой собственной частоты p_i можно определить соответствующую собственную форму колебаний, характеризуемую отношением амплитуд

, (3.2.8)

где первый индекс означает номер обобщенной координаты, второй – номер формы колебаний.

Найденные таким образом _ki образуют матрицу форм колебаний , .- вектор-столбец, представляющий i-ю форму колебаний.