3 Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы

3.1 Каноническая форма представления кинетической и

потенциальной энергий

Нормальные координаты и главные колебания. Как было показано во второй главе, кинетическая Т и потенциальная П энергии системы с КЧСС представляют положительно определенные квадратичные формы. Известно [1,6], что две квадратичные формы

; (3.1.1)

, (3.1.2)

из которых хотя бы одна является положительно определенной, одним линейным преобразованием переменных

(3.1.3)

можно привести к каноническому виду (сумме квадратов):

; (3.1.4)

. (3.1.5)

При этом все _i будут больше нуля _i > 0. Продифференцировав выражение (3.1.3), получим связь между векторами обобщенных скоростей и

(3.1.6)

Учитывая эти обстоятельства, кинетическую и потенциальную энергии системы можно записать в виде

(3.1.7)

Координаты _i(t) , в которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными или главными координатами системы [1,4]. После подстановки выражений кинетической и потенциальной энергий (3.1.7) в уравнения Лагранжа (2.1.11), последние приобретают особо простую форму

(3.1.8)

Уравнения (3.1.8), описывающие колебания системы в нормальных (главных) координатах, являются раздельными, поэтому интегрирование каждого уравнения можно выполнить независимо от других. Учитывая, что потенциальная энергия системы, определяемая соотношением (3.1.7), является положительно определенной квадратичной формой, все _i >0 и корни характеристического уравнения z_i²+_i=0 являются мнимыми. В силу этого общее решение системы уравнений (3.1.8) можно представить в виде

, (3.1.9)

где частоты колебаний , амплитуды a_i и начальные фазы _i .

Подставляя решение (3.1.9) в выражение (3.1.3), описывающее гармонические колебания с частотами p_i, получим общее выражение для малых колебаний системы

, (3.1.10)

где - вектор, представляющий i-й вектор-столбец матрицы B.

В соответствии с формулой (3.1.10) компоненты вектора можно представить в виде

(3.1.11)

Полученные выражения (3.1.10) и (3.1.11) описывают всевозможные малые колебания консервативной системы.

Если в формулах (3.1.10), (3.1.11) положить все a_i=0, кроме i=j, получим в частном случае

; (3.1.12)

. (3.1.13)

Формулы (3.1.12) и (3.1.13) имеют место в случае изменения только j-той нормальной (главной) координаты _i(t), остальные будут равны нулю. Такой ситуации можно добиться путем соответствующего подбора начальных условий. Обобщенные координаты q_k(t) , описывающие перемещения системы, будут изменяться по одному и тому же гармоническому закону с частотой p_j. Система в этом случае совершает гармонические колебания и все ее точки, положение которых определяется координатами q_k(t) , одновременно достигают положения равновесия и наибольшего отклонения.

Колебания системы, определяемые изменением только одной нормальной (главной) координаты, называются главными или собственными колебаниями, частоты p_j, с которыми происходят эти колебания, – собственными частотами системы.

В общем случае, когда все , система с n степенями свободы совершает малые колебания около устойчивого положения равновесия, которые в соответствии с формулой (3.1.10) представляют линейное наложение n главных (собственных) гармонических колебаний. В этом разложении колебательного процесса, совершаемого системой, на ряд простых гармонических колебаний заключается физический смысл приведения кинетической и потенциальной энергий к каноническому виду.