2.Уравнения малых колебаний систем с кчсс относительно

положения устойчивого равновесия

2.1.Основные гипотезы и определения

2.1.1.Системы и их связи

Совокупность связанных между собой материальных точек (или тел) называется механической системой. Число материальных точек, входящих в любое тело конечных размеров, необходимо считать бесконечно большим. Однако предположим, что в состав механической системы входит конечное число материальных точек, которое может быть сколь угодно большим. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точечных масс m_i , положение которых в декартовой системе координат задается (x_i y_i z_i) или вектором (Рис.2.1).

Рисунок 2.1 – Система N материальных точек

Пусть на положения и скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связями. Эти ограничения осуществляются какими-либо другими материальными телами. Предполагается, что вне зависимости от способа реализации связей их действия на систему задаются силами, приложенными к материальным точкам и называемыми реакциями связей. Главный вектор всех реакций связей, действующих на i-ую массу обозначим (Рис.2.1). Обычно к связям можно отнести различного рода закрепления системы:

• Гладкая поверхность. Препятствует поступательному перемещению тела внутрь поверхности по нормали к ней. Реакция представляет собой силу, которая направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в сторону от связи.

• Идеальная нить. Препятствует поступательному перемещению тела вдоль нити от точки подвеса. Реакция идеальной нити представляет собой силу, которая направлена по линии нити в сторону связи.

• Цилиндрический неподвижный шарнир. Препятствует поступательному перемещению тела в плоскости, перпендикулярной его оси. Реакция представляется двумя составляющими силы по осям координат в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.

• Цилиндрический подвижный шарнир. Препятствует поступательному перемещению тела перпендикулярно плоскости установки шарнира. Реакция представляется одной составляющей силы, перпендикулярной плоскости установки шарнира.

• Заделка, защемление. Препятствует поступательному перемещению в любом направлении и повороту вокруг любой оси. Реакция в плоском случае представляется двумя составляющими силы и парой сил.

Предполагается, что связи могут быть заданы аналитическими уравнениями, которым должны удовлетворять координаты и скорости точек системы:

. (2.1.1)

В задачах механики реакции связей являются неизвестными. Задаются или описываются лишь способы реализации связей. Полное определение реакций связей, т.е. определение их точек приложения, направления и величины, производится из уравнения движения системы.

2.1.2 Обобщенные координаты и обобщенные силы

Если для рассматриваемой системы задаются L независимых уравнений вида (2.1.1) от 3N аргументов (x_i y_i z_i), , то из этих уравнений можно выразить L координат как функции 3N–L остальных координат и времени t. Однако не обязательно в качестве таких независимых координат использовать декартовы координаты. Можно выразить все 3N декартовых координат в виде функций от n = 3N–L независимых координат q_k(t), и времени t:

(2.1.2)

Скалярные функции, входящие в равенство (2.1.2), предполагаются непрерывными и дифференцируемыми. При удачном выборе новой системы координат q_k(t), можно в значительной степени упростить решение задачи теории колебаний. Например, известно, что сферические координаты гораздо лучше соответствуют условиям многих задач, чем декартовы.

Минимальное число координат q_k, с помощью которых можно однозначно определить положение голономной системы, совпадает с числом степеней свободы этой системы n = 3N–L. Величины q_k(t), в формуле (2.1.2) называются независимыми обобщенными координатами.

Если связи стационарны (случай склерономной системы), то время t не входит явно в уравнение (2.1.2) и их можно представить в виде:

(2.1.3)

Как пример выбора обобщенных координат рассмотрим систему, представляющую двойной маятник (рис.2.2), движущийся в плоскости и имеющий две степени свободы. В качестве независимых обобщенных координат q₁ и q₂ можно взять углы отклонений стержней от положения равновесия ₁ и ₂.

Рисунок 2.2 – Двойной маятник

Каждой обобщенной координате q_k соответствует своя обобщенная сила .Q_k

Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей, т.е.

(2.1.4)

и существует функция такая, что

, (2.1.5)

то силы Q_k называются потенциальными, а функция П - потенциалом сил, или потенциальной энергией системы.

Необходимо отметить, что потенциальная энергия системы определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Отсюда следует, что начало отсчета потенциальной энергии можно выбрать в любом месте поля в частности удобно считать, что в положении равновесия П равняется нулю:

П(0)=0. (2.1.6)

После выбора начала отсчета каждому положению системы в поле будет однозначно соответствовать определенное значение П, которое равно работе силы поля на перемещении по любому пути из этого положения до нулевого. Если выполнено условие (2.1.6), то нулевое положение совпадает с положением равновесия. В случае, когда потенциальная энергия может быть легко вычислена, формула (2.1.5) позволяет наиболее простым способом определить обобщенные силы Q_k.

Если связи системы склерономные, то время t не входит в выражение потенциальной энергии, и она будет зависеть от обобщенных координат .

Условие существования положения равновесия механических систем, находящихся под действием потенциальных сил (2.1.5), можно представить в виде

(2.1.7)

Полученные формулы свидетельствуют о том, что для механических систем данного класса потенциальная энергия имеет стационарное значение.