1.3 Построение математических моделей систем с конечным числом степеней свободы

Для определения динамических характеристик (амплитуд, скоростей, ускорений, динамических напряжений) машин и конструкций необходимо представлять их в приведенном виде, т.е. в виде расчетных схем. Это требует замены реально континуальной системы дискретной, представляющей собой систему взаимосвязанных масс и жесткостей.

В состав различных машин и механизмов входят звенья, обладающие различными физическими свойствами. Так, об отдельных звеньях может быть заранее известно, что их деформации в процессе работы незначительны, т.е. их упругими свойствами можно пренебречь и считать твердым недеформируемым телом, характеризуемым приведенной массой в центре инерции. Звенья, масса которых по сравнению с другими звеньями пренебрежимо мала, можно считать дискретными участками жесткости, лишенными массы. Обычно в практике расчетов такими звеньями выбирают элементы машин, масса либо жесткость которых в 100-1000 раз меньше, чем у остальных элементов.

Однако наибольший интерес при дискретизации с целью расчета собственных частот и форм представляют деформируемые элементы большой протяженности: валы, пластины, оболочки, звенья ферм и т.п. Такие конструктивные элементы нельзя представить одним параметром – массой либо жесткостью. В математической модели они описываются уравнениями движения системы дискретных масс и жесткостей, приближенно моделирующих дискретную систему [8,9]. Точность приближенного описания растет с увеличением числа моделирующих масс и жесткостей.

В современных машинах получили наибольшее распространение валы переменного поперечного сечения. При расчете колебаний необходимо заменить исходную конструкцию кусочно-непрерывного ротора механической моделью, состоящей из дискретных масс, связанных упругими звеньями. Это означает, что реальная система будет представлена как система участков безмассовой жесткости и сосредоточенных масс с бесконечно большой жесткостью. Такое представление о механизме колебаний естественно является приближенным, но при стремлении числа участков разбиения к бесконечности можно показать, что это решение будет стремится к точному [1]. Приведенные массы можно определять как из равенства кинетической энергии приводимой и приведенной масс, так и из равенства статических моментов. Приведенные жесткости определяют из равенства потенциальных энергий исходной упругой системы и приведенной.

Приведение масс

Пусть элемент исходной системы состоит из n масс, которые обозначим через m₁, m₂, … ,m_n , а их скорости движения – через v₁, v₂, … ,v_n . Условием динамического приведения масс является равенство кинетических энергий приведенной массы и всех масс элемента:

, (1.3.1)

откуда

, (1.3.2)

где m₀ – значение приведенной массы; v₀ – скорость в точке приведенной массы.

Таким образом, приведенная масса равна сумме произведений приводимых масс на квадраты передаточных отношений i_k, где под передаточным отношением понимается

. (1.3.3)

При приведении элемента конструкции с распределенной массой тоже применим принцип равенства кинетической энергии. Кинетическая энергия i-го элементарного участка длинной dx c равномерно распределенной массой равна

(1.3.4)

где F_i – площадь поперечного сечения i-го участка,  – удельная плотность материала.

Проведя суммирование по участкам и интегрирование по их длинам выражения (1.3.4), получим:

(1.3.5)

где n – число участков, L_i – длина i-го участка.

Условная кинетическая энергия приведенной массы m₀ равна:

(1.3.6)

Окончательно получаем коэффициент приведенной массы по формуле

. (1.3.7)

Данный коэффициент соответствует передаточному отношению для системы дискретных масс и позволяет получить приведенную массу для систем, где значение скорости заранее известно либо вычисляется несложно.

Однако для колебательных континуальных систем, в которых преобладают изгибные, продольные или крутильные деформации, вычисление скорости в произвольной точке проблематично. В случае построения эквивалентной дискретной модели с n степенями свободы (рис. 1.3,б) для континуальной системы типа вала (рис. 1.3,а) проблемой является не только определение скоростей в точках сосредоточения масс, но и положение мест их сосредоточения. Поэтому в этих случаях используют систему статического приведения масс на основе равенства статических моментов. Это особенно эффективно, когда механическое тело – вал кусочно-постоянного поперечного сечения разбивается на участки равной длины, которые заменяются сосредоточенной в центре статической инерции массой (рис. 1.3). Преимущество статического подхода в том, что он дает ответ на два вопроса – какова величина массы и где она будет расположена.

Рисунок 1.3 – Схема приведения массы для консольной балки кусочно-

постоянного поперечного сечения

Алгоритм статического подхода следующий:

• континуальный вал длинной L условно разбивают на участки равной длины в соответствии с количеством дискретных масс – n, которыми он будет моделироваться (рис.1.3,а):

L₁ =L₂ =  = L_n-1=L_n=L/n; (1.3.8)

• вычисляют массы m_ij для k частей вала (j = 1k) постоянного поперечного сечения для i-го участка длиной L_i и координаты центров данной массы x_цij, которые помещаются в геометрический центр части;

• вычисляют массы m_i для i-го участка на основе предшествующего шага (рис.1.3,б):

; (1.3.9)

• записывают выражение равенства статического массового момента для i-го участка относительно неизвестной координаты центра i-й массы x_цi:

; (1.3.10)

• на основе выражений (1.3.9) и (1.3.10) получаем величину координаты центра i-й массы (рис.1.3,б):

. (1.3.11)

При данном подходе в отличие от динамического у нас нет потери массы, что позволяет при стремлении числа масс к бесконечности получать точную модель. Однако при небольшом числе масс данный подход, очевидно, будет давать завышенные значения частот, перемещений, скоростей и других динамических характеристик.

Приведение жесткостей

Под жесткостью элемента механической системы понимают отношение нагрузки к вызываемой ею деформации. Для простейших деформаций вида растяжения – сжатия и кручения вала ее определяют следующим образом:

• жесткость стержня, работающего на растяжение - сжатие:

(1.3.12)

• жесткость закручиваемого стержня:

, (1.3.13)

где E – модуль упругости, а G – модуль сдвига;

• жесткость элемента, работающего на изгиб, т.е. отношение силы к прогибу в точке приложения силы, зависит от характера заделки концов элемента, его размеров и положения силы.

Поэтому в расчетной практике в этом случае удобней пользоваться величиной обратной жесткости, называемой податливостью:

. (1.3.14)

Податливость устанавливает связь между деформацией q и силой Q следующего вида:

. (1.3.15)

В состав упругого механизма могут быть включены элементы сложной структуры, в которой реализованы параллельные (рис. 1.4,а) или последовательные (рис. 1.4,б) соединения упругих участков.

Рисунок 1.4 – Схемы соединения жесткостей:

а – параллельное соединение; б – последовательное соединение

Приведенная жесткость определяется из условия равенства потенциальной энергии приведенного упругого элемента и суммы потенциальных энергий упругих участков элемента сложной структуры. При последовательном соединении упругих участков с жесткостями С₁ и С₂ (рис. 1.4,б) равенство указанных потенциальных энергий дает

 . (1.3.16)

Из равенства (1.3.16) с учетом (1.3.15) и (1.3.14) получим, что при последовательном соединении складываются податливости:

 . (1.3.17)

Для упругого элемента, состоящего из последовательно соединенных n частей, выражение (1.3.17) имеет вид

. (1.3.18)

При параллельном соединении упругих частей с жесткостями С₁ и С₂ (рис. 1.4,а), перемещения этих частей q₁, q₂ одинаковы:

q₁=q₂=q (1.3.19)

Поэтому из равенства потенциальных энергий с учетом (1.3.19) имеем:

 С=С₁+С₂ (1.3.20)

А для упругого элемента состоящего из параллельно соединенных n частей выражение (1.3.20) имеет вид:

С=С₁+С₂++С_n (1.3.21)

Контрольные вопросы

1. Какие существуют основные принципы классификации колебательных процессов и колебательных систем?

2. Что общее у вынужденных колебаний и автоколебаний, свободных и параметрических колебаний, и в чем их отличие?

3. Каковы основные принципы построения дискретных моделей?

4. Привести алгоритм определения сосредоточенных масс дискретной модели.

5. Привести алгоритм определения приведенных жесткостей дискретной модели.