Предисловие

В настоящее время без преувеличения можно отметить важнейшую роль различного рода колебательных процессов в разнообразных отраслях современной техники. Одинаковость колебательных процессов и в тоже время их отличие позволяет установить общность внутренних явлений и связей, существующих в весьма различных по своей физической природе объектах. При исследовании колебаний реальных физических объектов производится их идеализация, степень которой зависит не только от свойств рассматриваемого объекта, но и от того, каковы цели самого исследования. Конечно, если речь идет о реальной механической системе, то она обладает бесконечным числом степеней свободы. Однако при решении широкого класса задач теории колебаний достаточно ограничиться рассмотрением систем с конечным числом степеней свободы (КЧСС).

В данном пособии излагаются вопросы, связанные со свободными колебаниями механических систем с КЧСС. Особое внимание уделяется построению математических моделей таких систем и различным способам составления уравнений малых свободных колебаний консервативных и диссипативных систем. Рассматриваются случаи продольных, крутильных и изгибных колебаний. Даны определения понятий собственных частот и форм колебаний, а также анализируются их основные свойства. Приводится решение задачи о свободных колебаниях при заданных начальных условиях. Представлен цикл задач о свободных продольных, крутильных и изгибных колебаниях некоторых систем, включая построение их математических моделей.

Пособие рассчитано на студентов специальностей 7.080303 "Динамика и прочность" и 7.080402 "Информационные технологии проектирования", изучающих курс "Теория колебаний". Оно также будет полезно для студентов других машиностроительных специальностей.

1.Основные понятия и определения теории колебаний

1.1.Понятие о колебаниях

Большинство процессов, происходящих в астрономии, физике, биологии, социологии, экономике и технике, носят ярко выраженный колебательный характер. Такие процессы могут быть обусловлены различными явлениями, которые происходят в общественной жизни и экономике, нервной системе человека и животных, а также при движении планет Солнечной системы, приливах и отливах мирового океана, распространении электромагнитных и сейсмических волн и т.д. Несмотря на различную физическую сущность, внешнюю форму и назначение указанных явлений, у них наблюдается ряд общих свойств и особенностей, которые изучает теория колебаний. Поэтому несомненна большая мировоззренческая роль этой теории в понимании процессов, происходящих в целом в живой и неживой природе. В пособии будут рассмотрены только механические системы, однако основные понятия и подходы, данные в нем, вполне могут применяться и для изучения других объектов самой разнообразной физической природы. В теории колебаний главной задачей является изучение колебательных процессов. Во многих случаях установить четкую границу между колебательными и неколебательными процессами невозможно.

Колебательным процессом или колебаниями называется процесс поочередного возрастания и убывания во времени какой-либо величины x(t) (рис.1.1,а) [5]. Частным случаем колебательных процессов являются периодические процессы, которые повторяются по истечении некоторого промежутка времени, называемого периодом колебаний T (рис.1.1,б). Простейший тип периодического процесса – это гармонический процесс (рис.1.1,в), который изменяется по закону синуса или косинуса:

, (1.1.1)

где A – амплитуда колебаний; (t+) – фаза колебаний;  – угловая (круговая) частота (рад/с или с^-1);  – начальная фаза (рад).

Угловая частота  представляет собой число колебаний за 2 секунд. Частота колебаний может измеряться в герцах (Гц), в этом случае она обозначается через f и представляет число колебаний за секунду. Период колебаний T следующим образом связан с частотами

(1.1.2)

а

x(t)

x(t)

б

x(t)

в

Рисунок 1.1 – Виды колебательных процессов:

а – произвольные колебания; б – периодические колебания;

в – гармонические колебания

Таким образом, гармонические колебания определяются тремя независимыми постоянными параметрами: амплитудой, частотой (периодом) и начальной фазой. Для выполнения теоретического исследования любой реальной физической системы с ее чрезвычайным многообразием свойств необходимо провести идеализацию для построения математической модели, которая описывала бы интересующие при конкретном исследовании свойства исходной системы.

Характер и степень идеализаций, принимаемых при решении конкретных задач, зависят не только от свойств исходной физической системы, но и от того, на какие вопросы необходимо получить ответы при решении конкретной задачи. Поэтому при решении различных задач теории колебаний одна и та же информация может быть допустимой и недопустимой, в зависимости от того, какие характеристики исследуются. Одна идеализация свойств реальной системы позволяет получить правильное решение для определенного класса задач теории колебаний, но она может быть недопустимой при решении задач другого класса. Учитывая сложность построения математических моделей реальных объектов при решении конкретных задач теории колебаний, этот вопрос в пособии будет рассмотрен особенно внимательно.