4.3. Пример моделирования крутильных колебаний ротора

Задание:

• построить и определить параметры (массы, жесткости) для трех- массовой модели вала при крутильных колебаниях согласно варианту задания;

• получить уравнение крутильных колебаний с помощью уравнения Лагранжа (см. пп. 2.1.3, 2.2, 2.3);

• определить собственные частоты и формы колебаний (см. п. 3.2);

• провести нормировку форм колебаний (см. п. 3.3);

• построить графическое изображение форм.

Рисунок 4.4 – Построение модели крутильных колебаний ротора

а - эскиз поперечного сечения ротора; б - дискретная модель ротора

На рис. 4.4,а приведен исходный эскиз осевого сечения ротора, состоящего из четырех участков, имеющих следующие размеры: L₁ = 0,5 м; L₂ = 0,9 м; L₃ = 1,5 м; L₄ = 2,0 м; d₁ = 0,2 м; d₂ = 0,15 м; d₃ = 0,12 м; d₄ = 0,15 м. Физические характеристики материала таковы: модуль сдвига G = 8,010¹⁰ H/м², плотность = 810³ кг/м³.

Построение дискретной модели крутильных колебаний. Необходимо построить трехмассовую дискретную модель для моделирования крутильных колебаний. Для этого ротор разбиваем на три участка равной длины:

L_у1 = L_у2 = L_у3 = L₄/3.

1.Определение массовых полярных моментов инерции. Как видно из рис. 4.4,а, в первый участок L_у1 вошло два участка ротора постоянного поперечного сечения, массовые полярные моменты инерции которых, вычисляют по следующим формулам:

= 0,628 кгм²;

= 0,066 кгм².

Массовый момент первого участка определяется как сумма моментов участков его составляющих:

J_у1= J_у11+ J_у12 = 0,694 кгм².

Во второй участок L_у2 (cм. рис 4.4,а) вошли два участка ротора постоянного поперечного сечения, массы которых вычисляются по следующим формулам:

= 0,093 кгм²;

= 0,071 кгм².

Массовый момент второго участка определяется как сумма масс участков его составляющих:

J_у2 = J_у21+ J_у22 = 0,164 кгм².

В третий участок L_у3 (cм. рис 4.4,а) вошло два участка ротора постоянного поперечного сечения, массы которых вычисляют по следующим формулам:

= 0,027 кгм²;

= 0,199 кгм².

Массовый момент второго участка определяют как сумму масс участков его составляющих

J_у3= J_у31+ J_у32 = 0,226 кгм².

2.Вычисление центров массовых полярных моментов. Центр каждого эквивалентного массового полярного момента должен быть расположен так, чтобы обеспечить статическую эквивалентность модели и ротора с точки зрения массового момента инерции. Так как исходные участки ротора имеют постоянный диаметр, их центры массового полярного момента инерции находятся в геометрическом центре участка.

Найдем координаты центров массовых полярных моментов инерции для частей постоянного поперечного сечения составляющих первый участок:

= 0,25 м;

= 0,584 м.

Условия статической эквивалентности массового полярного момента инерции для первого участка имеют вид

,

откуда координата центра первого массового полярного момента инерции x_ц1 равна

= 0,282 м.

Аналогичным путем получим координату x_ц2 для второго массового полярного момента инерции:

= 0,784 м;

= 1,117 м;

= 0,928 м.

Аналогичным путем получим координату x_ц3 для третьего массового полярного момента инерции:

= 1,417 м;

= 1,750 м;

= 1,710 м.

Результаты вычислений центров массовых полярных моментов инерции изображены на рис. 4.4,б.

3.Определение жесткостей. На рис. 4.4,б представлена дискретная модель, состоящая из трех дисков, совершающих крутильные колебания, а также обозначены координаты их центров. Диски разбивают длину ротора на четыре участка, каждый из которых имеет жесткость обозначенную С₁, С₂,_, С_3, С₄ соответственно, и изображен условной линией на рис. 4.4,б.

Так как первый и четвертый жесткостные участки соответствуют конструкционным участкам ротора постоянного диаметра, величины жесткости их определяют просто:

= 4,45410⁷ Нм.

= 1,37010⁷ Нм.

Второй жесткостной участок соответствует трем конструкционным участкам ротора, которые обозначены на рис. 4.4,б как с_2i (i = 1,2,3). Определим величины этих жесткостей:

= 5,76110⁷ Нм.

= 9,9410⁶ Нм.

= 5,81310⁷ Нм.

Условные крутильные жесткости с_2i соединены последовательно, а в этом случае складываются податливости пружин. Податливость пружины С₂ определяется как

=1,35210^–7 (мН)^-1 ,

откуда крутильная жесткость второго участка равна

С₂ = 7,39610⁶ Нм.

Третий жесткостной участок соответствует двум конструкционным участкам ротора, которые обозначены на рис. 4.4,б как с_3i (i = 1,2). Определим величины этих жесткостей:

= 0,28510⁷ Нм.

= 1,89210⁷ Нм.

Условные крутильные жесткости с_3i соединены последовательно, а в этом случае складываются податливости пружин:

= 4,05010^–7 (мН)^–1 ,

откуда крутильная жесткость третьего участка равна

С₃ = 2,46910⁶ Нм.

Получение уравнений для свободных крутильных колебаний. На рис. 4.5 изображена полученная дискретная модель крутильных колебаний ротора со степенями свободы _i (i = 0, 1, 2, 3, 4). Всего данная модель имеет пять степеней свободы, три из которых ₁, ₂, ₃ соответствуют массовым полярным моментам инерции J₁, J₂ , J₃ , а остальные две – концам упругих участков.

Рисунок 4.5 – Дискретная модель ротора при крутильных колебаниях

Для получения уравнений свободных колебаний воспользуемся уравнением Лагранжа II рода (2.1.10). Выражения для кинетической и потенциальной энергии колебательной системы, приведенной на рис. 4.5, имеют вид:

; (4.3.1)

. (4.3.2)

Данные уравнения необходимо дополнить граничными условиями на свободных концах ротора:

(4.3.3)

Применив уравнение Лагранжа (2..1.10) к выражениям (4.3.1) и (4.3.2) с учетом равенств (4.3.3) получаем систему дифференциальных уравнений описывающую крутильные колебания ротора:

(4.3.4)

Определение собственных частот и форм. Решение системы (4.3.4) ищем в следующем виде :

(4.3.5)

где _i - амплитуда колебаний; p - собственная частота колебаний;  - фазовый угол.

После подстановки (4.3.5) в (4.3.4) получим систему уравнений для определения форм колебаний:

(4.3.6)

Частотное уравнение имеет следующий вид:

, (4.3.7)

где матрицы жесткости и масс получаем из уравнения (4.3.6) в следующем виде:

Из выражения (4.3.7) получаем бикубическое уравнение относительно собственной частоты р, которое в нормальном виде приводится ниже:

(4.3.8)

Подставляя в (4.3.8) значения жесткостей и массовых полярных моментов инерции, получим

(4.3.9)

Решая уравнение (4.3.9) и отбрасывая отрицательные значения, получим следующую величину первой собственной частоты

p₁ = 0;

Данное решение частотного уравнения (4.3.9) соответствует движению как твердого тела (вращению вокруг оси ротора) и появляется в связи с тем, что исходный вал не был закреплен. Поэтому это решение отбрасывается, и нумерация частот будет следующая:

p₁ = 3295 р/с = 524,7 Гц;

p₂ = 8419 р/с = 1340 Гц.

Так как собственные формы колебаний определяются с точностью до константы, пусть для первой собственной частоты выполняются равенства:

(4.3.10)

Тогда из уравнения (4.3.6) с учетом равенства (4.3.10) получаем :

Аналогично для второй собственной частоты p₂ принимаем:

(4.3.11)

Тогда из уравнения (4.3.6) с учетом равенства (4.3.11) получаем :

В результате матрица собственных форм для крутильных колебаний ротора имеет вид:

.

Нормировка собственных форм. Для нормировки собственных форм найдем нормировочные множители по формуле [1]

(4.3.13)

где – вектор i -й собственной формы.

Используя полученные ранее матрицу масс и вектора собственных форм, по формуле (4.3.13) определим для двух форм два коэффициента:

k₁=1,625; k₂=2,474.

Векторы нормированных собственные форм связаны с исходными векторами собственных форм формулой

. (4.3.14)

В результате матрица нормированных собственных форм для крутильных колебаний ротора имеет вид

Построение графического изображения собственных форм

Рисунок 4.6 – Собственные формы для крутильных колебаний ротора