4.2. Пример моделирования продольных колебаний ротора.

Задание:

• построить и определить параметры (массы, жесткости) для модели вала при продольных колебаниях согласно варианту задания;

• получить уравнение продольных колебаний прямым способом (см. п. 2.3);

• определить собственные частоты и формы колебаний (см. п. 3.2);

• построить графическое изображение форм.

На рис. 4.1,а приведен исходный эскиз осевого сечения ротора, состоящего из четырех участков имеющих следующие размеры: L₁ = 0,5 м; L₂ = 0,9 м; L₃ = 1,5 м; L₄ = 2,0 м; d₁ = 0,2 м; d₂ = 0,15 м; d₃ = 0,12 м; d₄ = 0,15 м. Физические характеристики материала таковы: модуль упругости E = 2,110¹¹ H/м², плотность = 810³ кг/м³.

Построение дискретной модели. Необходимо построить двухмассовую дискретную модель для моделирования колебательного процесса. Для этого ротор разбиваем на два участка равной длины:

L_у1 =L_у2 = L₄/2.

Рисунок 4.1 – Построение модели продольных колебаний ротора :

а - эскиз поперечного сечения ротора; б - дискретная модель ротора

1.Определение масс. Как видно из рис. 4.1,а, в первый участок L_у1 вошло три участка ротора постоянного поперечного сечения, массы которых вычисляются по следующим формулам:

= 125,664 кг;

= 56,549 кг;

= 9,048 кг.

Масса первого участка определяется как сумма масс участков его составляющих:

m_у1 = m_у11+ m_у12+ m_у13 = 191,261 кг.

Во второй участок L_у2 вошло два участка ротора постоянного поперечного сечения, массы которых вычисляются по следующим формулам:

= 45,239 кг;

= 70,686 кг.

Масса второго участка определяется как сумма масс участков его составляющих:

m_у2 = m_у21+ m_у22 = 115,925 кг.

2.Вычисление центров масс. Центр каждой массы должен быть расположен в центре ее статического момента инерции. Так как исходные участки ротора имеют постоянный диаметр, их центр статического момента инерции находится в геометрическом центре участка.

Найдем координаты центров масс участков постоянного поперечного сечения, составляющих первый участок:

= 0,25 м;

= 0,7 м;

= 0,95 м.

Условия равенства массовых моментов инерции для первого участка имеют вид

,

откуда координата первой массы x_ц1 равна:

= 0,416 м.

Аналогичным путем получим координату x_ц2 второй массы:

= 1,25 м;

= 1,75 м;

= 1,555 м.

Результаты вычислений центров масс изображены на рисунке 4.1,б.

3.Определение жесткостей. На рис. 4.1,б обозначены две полученные массы и их координаты. Эти две массы разбивают длину ротора на три участка, каждый из которых имеет жесткость, обозначенную С₁, С₂,_, С₃ соответственно, и изображены как условные пружины на рис. 4.1,б.

Так как первый и третий жесткостные участки соответствуют конструкционным участкам ротора постоянного диаметра, величины жесткости их равны:

= 1,58510¹⁰ Н/м.

= 8,33910⁹ Н/м.

Второй жесткостной участок соответствует четырем конструкционным участкам ротора, которые обозначены на рис. 4.1,б как с_2i (i=1,2,3,4). Определим величины этих жесткостей:

= 7,86910¹⁰ Н/м;

= 9,27810⁹ Н/м;

= 3,95810⁹ Н/м;

= 6,76210¹⁰ Н/м.

Условные пружины с_2i соединены последовательно, а в этом случае складываются податливости пружин, т.е. податливость пружины С₂ определяется как

= 0,38810^-9 м/Н,

откуда жесткость второй пружины равна

С₂= 2,578 10⁹Н/м.

Получение уравнений для свободных продольных колебаний. На рис. 4.2 изображена полученная дискретная модель ротора со степенями свободы q_i (i=0, 1, 2, 3). Всего данная модель имеет четыре степени свободы, две из которых q₁, q₂ соответствуют массам m₁, m₂ , а остальные безмассовым концам пружин.

Рисунок 4.2 – Дискретная модель ротора при продольных колебаниях

Применяя прямой способ, основанный на принципе Даламбера [6] (см. п. 2.3), выделим массы из системы и, заменив действие пружин упругими силами, получим уравнения равновесия в соответствии с формулой (2.3.11). Уравнение движения для двух масс и обобщенных координат, показанных на рис. 4.2, имеют вид:

;

.

Два уравнения движения содержат четыре неизвестных, поэтому для получения разрешающей системы уравнений необходимо учесть граничные условия, которые для упруго-массовой системы представленной на рис. 4.2, имеют вид:

; .

Окончательно получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений относительно д вух неизвестных q₁, q₂:

(4.2.1)

Определение собственных частот и форм. Решение системы (4.2.1) ищем в виде (3.2.1)

(4.2.2)

где _i – амплитуда колебаний; p – собственная частота колебаний;  – фазовый угол.

После подстановки (4.2.2) в (4.2.1) получим уравнения форм колебаний

(4.2.3)

Из уравнений (4.2.3) получим матрицы масс и жесткости:

Частотное уравнение имеет следующий вид:

. (4.2.4)

Из выражения (4.2.4) получаем биквадратное уравнение относительно собственной частоты р, которое в нормальном виде приводится ниже:

(4.2.5)

Подставив в (4.2.5) значения жесткостей и масс, получим

. (4.2.6)

Решая биквадратное уравнение (4.2.6) и отбрасывая отрицательные значения, получим величины собственных частот:

p₁=4289 р/с = 682,6 Гц;

p₂=10010 р/с = 1594,0 Гц

Как следует из уравнения форм (4.2.3), собственные формы колебаний определяются с точностью до константы. Тогда пусть для первой собственной частоты p₁ выполняются равенства:

(4.2.7)

Теперь для определения первой собственной формы достаточно воспользоваться одним уравнением системы (4.2.3), подставив равенства (4.2.7):

.

Аналогично для второй собственной частоты p₂ принимаем:

(4.2.8)

Тогда из уравнения (4.2.3) с учетом равенства (4.2.8) получаем :

.

В результате матрица собственных форм для ротора имеет вид

.

Построение графического изображения собственных форм.

Рисунок 4.3 – Собственные формы продольных колебаний ротора