3.4 Решение задачи о свободных колебаниях

Для решения задачи о свободных колебаниях механических систем с конечным числом степеней свободы необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (2.3.1) или (2.3.2). Рассмотрим случай, когда все корни p_i частотного уравнения (3.2.6) различны. Как было показано в разделе 3.2, каждой собственной частоте p_i соответствует частное решение уравнения свободных колебаний (2.3.2), которое имеет вид:

. (3.4.1)

Вектор амплитуды в данном выражении представляет i-ю форму колебаний, которая определяется из уравнения форм колебаний (3.2.2).

Поскольку исходная система дифференциальных уравнений (2.3.2) является линейной, то ее общее решение можно представить в виде линейной комбинации частных решений (3.4.1):

(3.4.2)

В данном выражении С_i и _i произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий

, (3.4.3)

или в матричной форме

, . (3.4.4)

Подставляя (3.4.2) в начальные условия (3.4.4), находим

(3.4.5)

Можно показать, что вектора , являются линейно независимыми, поэтому из системы (3.4.5) однозначно определяют произвольные постоянные

С_i и _i .

При решении конкретных задач свободных колебаний механических систем общее решение (3.4.2) удобнее представить в виде

, (3.4.6)

где ; .

Новые произвольные постоянные A_i и B_i также определяют из начальных условий (3.4.4)

(3.4.7)

В скалярной форме систему линейных алгебраических уравнений (3.4.7) можно представить

(3.4.8)

Контрольные вопросы:

1. В чем отличие нормальных (главных) координат от обычных обобщенных координат?

2. В чем физический смысл приведения кинетической и потенциальной энергий к каноническому виду?

3. Дать определение собственным формам колебаний?

4. Сформулировать основные свойства собственных частот и форм колебаний?

5. Чем определяется количество собственных частот и форм колебаний механической системы?

4. Расчетно-графическое задание

Колебания систем с конечным числом степеней свободы можно отнести к важнейшей и наиболее практически востребованной области теории колебаний. Наиболее наглядной частью данного направления являются продольные, крутильные и изгибные колебания стержней либо валопроводов. Построение разрешающей системы уравнений колебаний для подобных систем не представляет в настоящий момент серьезной научной проблемой. Однако далеко не очевидна задача дискретизации реальной, континуальной системы (например, валопровода [7]). Поэтому предлагаемое расчетно-графическое задание (РГЗ) предназначено для приобретения навыков дискретизации и расчета основных характеристик колебательных процессов стержневых систем.

4.1. Цели и задачи расчетно-графического задания

Целью данного задания являются:

• построение дискретной модели для трех видов колебаний ротора продольных, крутильных и изгибных;

• запись уравнений колебаний дискретных систем в прямой и обратной форме;

• построение уравнений форм колебаний и частотного уравнения;

• получение решения в виде собственных частот и форм;

• нормирование собственных форм по матрице масс;

• графическое построение собственных форм;

• получение уравнений колебаний в виде разложения по собственным формам;

• графическое построение колебательного процесса.

Основною задачей данного расчетно-графического задания является приобретение практических навыков дискретизации роторных и стержневых систем кусочно-непрерывной конструкции. Под кусочно-непрерывной конструкцией следует понимать роторы круглого поперечного сечения со скачкообразным изменением диаметра вала. Подобные валопроводы широко применяются в турбиностроении, двигателестроении и станкостроении. Поэтому данное РГЗ носит не только теоретический, но и практический характер.

В состав РГЗ входят три задания, примеры выполнения которых, изложены ниже в пп. 4.2, 4.3 и 4.4. Варианты заданий приведены в п. 4.5. В состав РГЗ входят также две лабораторные работы на ПЭВМ по расчету методом начальных параметров продольных колебаний – «СТЕРЖЕНЬ» и изгибных колебаний «РОТОР» [10] валопроводов для тех же вариантов. Порядок действий при расчете на ПЭВМ приведен в п. 4.6.