3.3 Свойства собственных частот и форм колебаний

Исходя из данного выше определения собственных частот и форм колебаний системы с КЧСС, можно выделить следующие их основные свойства [1,3,4]:

1. Число собственных частот и форм колебаний. Система с n степенями свободы имеет n вещественных положительных собственных частот p_i . Предполагается, что они различны и пронумерованы в порядке возрастания

p₁ < p₂  < p_n. (3.3.1)

Каждой собственной частоте p_i соответствует вещественная собственная форма колебаний , которая представляет отношение амплитуд главных колебаний:

. (3.3.2)

Число собственных форм равно числу степеней свободы n. Собственные частоты и формы колебаний системы не зависят от начальных условий, а зависят только от распределения масс и жесткостных свойств системы.

2. Ортогональность собственных форм. По определению два вектора и ортогональны относительно симметричной матрицы A, если имеет место соотношение

. (3.3.3)

Рассмотрим две собственные формы колебаний , соответствующие s-й и r-й собственным частотам, причем . Форма колебаний определяется из уравнения форм колебаний (3.2.6), которое можно представить в виде

. (3.3.4)

В случае симметрии матриц C и M имеют место следующие соотношения:

; (3.3.5)

. (3.3.6)

Подставляя соотношение (3.3.4) в левую и правую части равенства (3.3.5), получим

. (3.3.7)

В полученном выражении постоянные множители p_s² и p_r² можно вынести из матричных произведений

. (3.3.8)

Из соотношения (3.3.6) следует, что в формуле (3.3.8) выражения, стоящие в скобках, равны и поэтому

. (3.3.9)

Так как по условию , то из выражения (3.3.9) следует условие ортогональности собственных векторов относительно матрицы масс M:

. (3.3.10)

Для доказательства условия ортогональности собственных форм относительно матрицы жесткости C воспользуемся соотношением (3.3.4), которое можно представить так:

. (3.3.11)

Подставляя (3.3.11) в (3.3.10), получим

. (3.3.12)

Поскольку , следует условие ортогональности собственных форм относительно матрицы жесткости

. (3.3.13)

Условие ортогональности (3.3.10) и (3.3.13) можно представить соответственно в скалярном виде:

; (3.3.14)

. (3.3.15)

В полученных формулах предполагается, что .

3. Узлы собственных форм. Из условий ортогональности собственных форм (3.3.14), (3.3.15) и положительности коэффициентов матриц масс и жесткости следует, что амплитуды _ir и _ks форм главных колебаний, соответствующие различным собственным частотам p_r и p_s, не могут быть все одного и того же знака. Существует закономерность в распределении числа перемен знака амплитуд собственных форм [1]. Точка, которая остается неподвижной при колебаниях по какой-либо собственной форме, называется узлом этой формы. Закономерность распределения узлов собственных форм устанавливается соответствующей теоремой об узлах собственных форм: число перемен знака (число узлов) на r-й собственной форме равно r-1 для всех . Так например, все амплитуды _i1 для p₁ отличны от нуля и имеют одинаковые знаки.