§5 Постановка задачи приближения функций. Равномерное и среднеквадратическое приближение.

Пусть на некотором множестве D задана функция .

Приближением функции g называют ее замену на другую функцию f, «достаточно близкую к f» и более «простую( удобную)» чем f для целей исследования :.

Цель приближения определяет (1)выбор множества F={f_i(x)}, в котором ищется "наилучшее приближение" и (2) "критерий отбора" d(f_i(x),d(x)), позволяющий из "кандидатов" выбрать "ближайший к g(x)". Очевидно, что выбор критерия определяется разностью g(x)-f_i(x).

Пусть,например, над функцией g необходимо выполнить некоторую операцию А ; объект Аg существует, но алгоритм его отыскания не известен или слишком трудоемок(в том числе и технически). Тогда, естественно, приближение функции следует искать во множестве функций, операция А над которыми выполняется быстро и точно.

В инженерной практике: g(t) – сигнал на входе электронного устройства А, А g(t) – сигнал на выходе; известен алгоритм А f для гармонических сигналов. В качестве удобно использовать множество тригонометрических функций F={1, sin(kt), cos(kt); k=1,2,…}.

После того как определены(выбраны, заданы) , , задача приближения формулируется так :

«В заданном классе функций найти функцию , «наиболее близкую» к f в соответствии с выбранным критерием ».

Рассмотрим несколько примеров постановки и решения задачи приближения функций.

[I] В дифференциальном исчислении для целей локального исследования функции f в окрестности точки дифференцируемости

1. приближение ищется во множестве полиномов степени ”n”

;

2. в качестве критерия используется скорость убывания разности при по сравнению с функцией .

Известно, что полином наилучшего приближения существует, единственен и называется полиномом Тейлора

причем

[II]. В задаче приближения функции f на конечном промежутке [a,b] в качестве «критерия отбора» – «расстояния от f до g» принимают неотрицательное число, называемое «нормой разности функций»

.

Элемент наилучшего приближения , соответствующий такому критерию, удовлетворяет соотношению

Существуют различные способы определения “нормы функции”, но все они должны удовлетворять условиям – аксиомам нормы:

а)

б)

в)

Рассмотрим некоторые варианты введения нормы разности f(x)-g(x);

2. Если функции f и g абсолютно интегрируемы на [a,b],

называется наилучшим приближением функции g «в среднем»; соответствующее наименьшее во множестве F «расстояние» равно площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

2. Если функции f,g квадратично интегрируемы на [a,b], вводится среднеквадратическая норма

Функция , минимизирующая эту норму, называется «наилучшим среднеквадратическим» приближением функции g в заданном множестве(классе) функций .