§ 2. Уравнения второго порядка
1. Основные определения. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
или
.
Общее
решение
уравнения второго порядка представляет
собой функцию
,
которая зависит от
и двух произвольных постоянных
и
.
Задача
Коши состоит
в нахождении частного решения,
удовлетворяющего двум начальным
условиям:
и
.
При достаточно общих условиях решение
задачи Коши существует и является
единственным.
Аналогично можно рассматривать дифференциальные уравнения и более высокого порядка.
Интегрирование дифференциальных уравнений второго и более высокого порядка удается только в некоторых частных случаях. Рассмотрим три вида уравнений, которые допускают понижение порядка.
2.
Уравнение
вида
.
Решение такого уравнения находится
интегрированием
раз.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Данное уравнение является простейшим
уравнением третьего порядка вида
.
Трижды интегрируя его, последовательно
находим:
,
.
.
3.
Уравнение
второго порядка,
не
содержащее искомой функции
.
Порядок такого уравнения можно понизить,
взяв за неизвестную – функцию
.
Полагаем
,
тогда
;
для нахождения
получаем уравнение первого
порядка
.
Пусть его общее решение
или
.
Проинтегрировав, получим общее решение
данного уравнения
.
Пример2.
Найти решение задачи Коши
,
если
,
.
Решение.
Данное уравнение не содержит искомой
функции. Для понижения его порядка
введем новую неизвестную функцию
,
положив
.
Тогда
,
и уравнение принимает вид
.
Это уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными, решением
которого является функция:
.
Возвращаясь к
первоначальной функции, получим уравнение
первого порядка
,
из которого следует:
.
Подберем
и
так, чтобы выполнились начальные условия.
Поскольку
и
при
,
то
,
т.е.
;
,
т.е.
.
Искомым частным решением является
функция:
.
4.
Уравнение
второго порядка,
не содержащее независимой переменной
.
Уравнение
приводится к уравнению первого порядка,
если положить
,
а за новый аргумент принять
.
В этом случае
и порядок уравнения понизится:
.
Если
– его общее решение, т.е.
,
то, разделяя переменные и интегрируя,
найдем искомое общее решение:
.
Пример
3. Проинтегрировать уравнение
.
Решение.
Данное уравнение есть уравнение второго
порядка, не содержащее явным образом
независимой переменной. Понизим порядок
этого уравнения, положив
.
Тогда
,
и получаем уравнение:
или
.
Это дифференциальное уравнение распадается на два:
и
.
Первое из них дает
,
т.е.
.
Во втором уравнении переменные
разделяются:
,
откуда
,
или
,
т.е.
.
Вновь разделяя переменные, получим
и
.
Следовательно,
,
и общее решение данного уравнения имеет
вид
.
Отметим, что
найденное выше решение
содержится в общем решение, так как
получается из него при
.