
- •Элементы математической статистики
- •§1. Основные сведения из математической статистики
- •§2. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •§3. Статистические оценки параметров распределения
- •§4. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •§5. Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •§6. Методы расчёта сводных характеристик выборки Условные варианты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •Условные эмпирические моменты
- •§7. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •§8. Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
§2. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
Пусть из генеральной
совокупности извлечена выборка, причём
наблюдалось
раз,
-
раз, и т.д.
раз и
- объём выборки.
Наблюдаемые
значения
называют вариантами,
а последовательность вариант, записанных
в возрастающем порядке, - вариационным
рядом. Числа наблюдений называют
частотами,
а их
отношения к объёму выборки
- относительными частотами.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Следует отметить, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.
Пусть
- число наблюдений, при которых наблюдалось
значение признака, меньшее
-
объём выборки. Относительная частота
события
равна
.
Если
изменяется, то, вообще говоря, изменяется
и относительная частота, т.е. относительная
частота
есть функция от
.
Так как эта функция находится опытным
путём, то её называют эмпирической.
Эмпирической
функцией распределения называется
функция
,
определяющая для каждого значения
относительную частоту события
.
Итак
.
В отличие от
эмпирической функции распределения
выборки функцию распределения
генеральной совокупности называют
теоретической функцией распределения.
Различие между эмпирической и теоретической
функциями состоит в том, что теоретическая
функция
определяет вероятность события
,
а эмпирическая функция
определяет относительную частоту этого
же события.
Функция обладает следующими свойствами:
значения функции принадлежат отрезку
;
- неубывающая функция;
если - наименьшая варианта, то
при
; если
- наибольшая варианта, то
при
.
Пример 1.
Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют
Полигоном
относительных частот называют ломаную,
отрезки которой соединяют точки
,
,
. . . ,
.
При непрерывном
распределении признака весь интервал,
в котором заключены все наблюдаемые
значения признака, разбивают на ряд
частичных интервалов длиной
и находят
- сумму частот вариант, попавших в i-ый
интервал.
Гистограммой
частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длины
,
а высоты равны отношению
.
Площадь частичного -го прямоугольника
равна
-
сумме частот вариант, попавших в
-ый
интервал. Площадь гистограммы частот
равна сумме всех частот, т.е. объёму
выборки
.
Гистограммой относительных частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною
(плотность относительной частоты).
На рис. 3 изображена гистограмма частот по данному распределению выборки объёма .
Частичный интервал
|
Сумма частот вариант интервала
|
Плотность частоты
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|