Лабораторная работа №34 / lab3

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

кафедра ВТ

Лабораторная работа №3

Исследование методов линейного поиска.

Выполнили: студенты гр. 3372

Варакин Д.

Манакова М.

Проверил:

Санкт-Петербург,

2005 г.

Цель работы:

Разработка программы, реализующей комбинированную процедуру минимизации функции многих переменных в заданном направлении.

Вариант:

Вар. 3: функция f(x₁, x₂) = –12x₂ + 4x₁² + 4x₂² – 4x₁x₂, начальная точка x = (–0.5; 1), значение минимума (0.5; 1).

Описание метода:

Представим функцию от 2-х перемнных в виде функции одной переменной по заданному направлению и реализуем для нее методы:

Метод Больцано:

Начальный этап. Для запуска метода необходимо:

(1) задать [a₁,b₁]- начальный интервал локализации минимума, на границах которого знаки производных различны, т.е. f'(a₁)f'(b₁)<0;  - малое положительное число;

(2) положить к=1 и перейти к основному этапу.

Основной этап

Шаг 1. Взять пробную точку х_k в центре текущего интервала и проверить критерий окончания поиска: (1) x_k = (a_k + b_k)/2; (2) если f'(x_k) ≤  и L_k= b_k - a_k≤ , то остановиться (х_k = х* -аппроксимирующий минимум).

Шаг 2. Сократить текущий интервал:

(1) Если f (x_k) > 0, то положить a_k+1 = a_k и b_k+1 =x_k, в противном случае - a_k+1 =x_k, b_k+1 =b_k;

(2) заменить k на k+1 и вернуться на шаг 1.

Метод Давидона:

Начальный этап

1. Выбрать ε, x⁰, p, α₁

2. Предполагается, что сработал метод Свенна и получен интервал [a, b].

Основной этап

1. Найти аппроксимирующий минимум, т.е. точку d по формулам:

2. Проверить КОП: если y`<sub>r</sub>≤ ε, то остановиться, х=a+α<sub>r</sub>p. Иначе: сократить ТИЛ: если y`_r <0, то [r,b], если y`_r >0, то [a,r].

Положить k=k+1 и вернуться на шаг 1.

Спецификация основных переменных и функций:

Имя	Тип	Входные данные	Вых. данные	Описание
Eps	double	-	-	Точность вычислений.
a, b	double	-	-	Значения промежуточных инетрвалов.
F()	-	Vector x	double Func(x)	Заданная функция.
Grad()	-	Vector	Vector	Градиент в данной точке.
dF_dA	-	Vector x, p	double	Производная в точке х по направлению р
F_A	-	Vector x, p, double Alpha	double	Значение одномерной функции со смещением Alpha от точки х в направлении р.
Swann4()	-	double *a, *b	double *a, *b	Реализация алгоритма Свенна-4.
Bolcano	-	double a, b, …	double x	Реализует алгоритм Больцано.
Davidon	-	double a, b, …	double x	Реализует алгоритм Давидона.

Текст программы:

#include "stdio.h"

#include "conio.h"

#include "math.h"

#define min(a,b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))

#define max(a,b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))

#define Eps 0.001

class Vector

{

public:

double x1;

double x2;

Vector (double a, double b) {x1 = a; x2 = b;}

Vector (void) {};

Vector Move (Vector Direction, double Alpha)

{

double xx1 = x1 + Direction.x1*Alpha;

double xx2 = x2 + Direction.x2*Alpha;

return Vector(xx1, xx2);

}

};

double mod (double x)

{

return (x > 0) ? x : -x;

}

// Заданная функция

double F (Vector X)

{

return -12*X.x2+4*X.x1*X.x1+4*X.x2*X.x2-4*X.x1*X.x2;

}

// Градиент в точке Х

Vector Grad (Vector X)

{

Vector g (8*X.x1 - 4*X.x2, -12 + 8*X.x2 - 4*X.x1);

return g;

}

// Производная в точке Х по направлению Р

double dF_dA (Vector X, Vector p)

{

Vector g = Grad(X);

return g.x1*p.x1 + g.x2*p.x2;

}

// Значение одномерной функции от Alpha по направлению р из точки х

double F_A (Vector x, Vector p, double Alpha)

{

Vector Z (x.x1 + Alpha*p.x1, x.x2 + Alpha*p.x2);

return F(Z);

}

// Метод Свенна-4

void Swann4 (double *a, double *b, Vector x, Vector p)

{

double Alpha = 0.001 * mod(F(x));

if (dF_dA (x, p) > 0) {p.x1 = -p.x1; p.x2 = -p.x2;}

while (dF_dA (x.Move(p, Alpha), p) * dF_dA (x.Move(p, 2*Alpha), p) > 0) Alpha *= 2;

*a = min(Alpha/2, 2*Alpha);

*b = max(Alpha/2, 2*Alpha);

}

double Bolcano (double a, double b, Vector x, Vector p)

{

double z = 0;

while ((b-a) > Eps)

{

z = (a + b) / 2;

if (dF_dA(x.Move(p, z),p) > 0) b = z;

else a = z;

}

return z;

}

double Davidon (double a, double b, Vector x, Vector p)

{

double z, w, g, min;

bool done = false;

// f'(a) = dF_dA (x.Move(p, a), p)

// f'(b) = dF_dA (x.Move(p, b), p)

// f (a) = F (x, p, a)

// f (b) = F (x, p, b)

while (!done)

{

z = dF_dA (x.Move(p, a), p) + dF_dA (x.Move(p, b), p) + 3 * ((F_A (x, p, a) - F_A (x, p, b))/b);

w = sqrt (z*z - dF_dA (x.Move(p, a), p) * dF_dA (x.Move(p, b), p));

g = (z - dF_dA (x.Move(p, a), p) + w) / (dF_dA (x.Move(p, b), p) - dF_dA (x.Move(p, a), p) + 2*w);

min = a + g * (b - a);

done = (mod(dF_dA (x.Move(p, min), p)) < Eps) || (min == a) || (min == b);

if (!done)

{

if (dF_dA (x.Move(p, min), p) > 0) b = min;

else a = min;

}

}

return min;

}

void main (void)

{

Vector StartPoint (-0.5, 1),

Direction (1, 0);

double a = 0, b = 0;

Swann4 (&a, &b, StartPoint, Direction);

printf ("Swann : a = %f, b = %f\n\n", a, b);

double min1 = Bolcano(a, b, StartPoint, Direction);

printf ("Bolcano min : %f (%f, %f)\n\n", min1,

StartPoint.x1 + min1*Direction.x1, StartPoint.x2 + min1*Direction.x2);

double min2 = Davidon(a, b, StartPoint, Direction);

printf ("Davidon min : %f (%f, %f)\n\n", min2,

StartPoint.x1 + min2*Direction.x1, StartPoint.x2 + min2*Direction.x2);

printf ("Real min : (0.500000, 1.000000)");

getch();

}

Примеры выполнения программы:

Точность	Результаты
Eps = 10-4	Swann : a = 0.320000, b = 1.280000 Bolcano min : 0.999980 (0.499980, 1.000000) Davidon min : 1.000011 (0.500011, 1.000000) Real min : (0.500000, 1.000000)
Eps = 10-3	Swann : a = 0.320000, b = 1.280000 Bolcano min : 0.999687 (0.499687, 1.000000) Davidon min : 1.000011 (0.500011, 1.000000) Real min : (0.500000, 1.000000)
Eps = 10-2	Swann : a = 0.320000, b = 1.280000 Bolcano min : 1.002500 (0.502500, 1.000000) Davidon min : 1.000405 (0.500405, 1.000000) Real min : (0.500000, 1.000000)

Ответы на контрольные вопросы:

1. Пояснить организацию линейного поиска на основе методов золотого сечения, Фибоначчи и Пауэлла.

Поиск минимума по направлению производится с использованием одномерных методов, т.е. сначала многомерная функция сводится к одномерной функции зависящей от смещения по заданному направлению из заданной точки, а потом для неё вызывается один из методов одномерной минимизации

2. Аналитически найти производную в точке x¹ = (1; 0)^t по направлению p¹ = (1; 1)^t для функции y(x) = x₁² – x₁x₂ + 2x₂² – 2x₁

y’_x1 = 2 x₁ - x₂ – 2; y’_x2 = - x₁ + 4 x₂;

grad (x¹) = [ 0 ; -1];

y’ = 0*1 + (-1)*1 = -1;

3. Как изменится процедура минимизации методами Больцано, дихотомии, ДСК, Дэвидона при переходе от поиска на числовой прямой к поиску на плоскости R²?

4. Что является направлением наискорейшего спуска в точке x¹ = (1; 1)^t для целевой функции y(x) = x₁² + 2x₂²?

Градиент = (2; 4)

5. Привести 2 способа аналитического решения задачи для Вашего варианта задания.

6. Найти минимум y(x) = x₁² – x₁x₂ + 2x₂² – 2x₁ + e^x1 + x2, двигаясь из точки x¹ = (0; 0)^t в направлении наискорейшего спуска.

Градиент = (1; 1).

Выводы:

Мы разработали программы, реализующей процедуры минимизации функции многих переменных в заданном направлении.