Векторные линии и траектории

Векторной линией в поле векторов называется линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор касателен к ней.

Совокупность векторных линий, проходящих через все точки некоторого контура, образует векторную поверхность.

Если рассматривать движение жидкой частицы во времени, то линия, по которой двигалась частица в некоторый момент времени называется траекторией.

Траектории частиц жидкости при установившемся течении являются неизменными во времени.

При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму. Поэтому для рассмотрения картины течения, возникающей в каждый момент времени, вводится понятие линии тока.

Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.

Рисунок

Для установившегося движения тока, совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность называемая трубкой тока.

Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.

Рисунок

При стремлении поперечных сечений размеров струйки к 0 она в пределе стягивается в линию тока.

Живым сечением или просто сечением потока, называется в обще случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к линиям тока. Далее будем рассматривать в потоках такие участки, в которых струйки можно считать параллельными, и следовательно, живые сечения плоскими.

Расходом называется количество жидкости , протекающей через живое сечение потока (струйки) в единицу времени.

Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площадки сечений, можно считать истинную скорость V одинаковой во всех точках каждого сечения, тогда элементарный расход, проходящий через площадку dS выразится так dS = VdS [м³/c]

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек.

Q=SVdS

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположение о сплошности (неразрывности) течения и на непроницаемости трубки тока можно утверждать, что расходство всех сечениях элементарной струйки одинаков.

dQ=V₁dS₁=V₂dS₂=const – (вдоль струйки)

Для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками следует ввести средние скорости

Q=V_срS₁=V_срS₂=const – (вдоль потока)

Основное уравнение гидродинамики

Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональных площадям живых сечений

Лекция 4 Основные уравнения динамики жидкости. Закон сохранения массы и уравнения неразрывности

Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во время движения. Следовательно, полная производная от массы по времени равно 0.

Используя закон сохранения массы для элементарного объема получим:

После дифференцирования будем иметь

Второе слагаемое деленное на ρdW есть величина относительного изменения объема dW, равная

сумма диагональных компонент тендора скоростей дифференциальный

/Тогда получим

Уравнение неразрывности, является выражением закона сохранения массы.

Если жидкость несжимаема ,то есть ρ=const, то уравнение неразрывности примет вид:

2, Закон сохранения количества движения (импульса). Дифференциальные уравнения динамики жидкости в напряжениях.

Закон сохранения импульса можно сформулировать так:

« Разность векторной производственной от количеств движения жидкого объема и всех внешних сил, приложенных к нему, равна нулю во все время движения».

Для конечного объема жидкости W с поверхности S закон сохранения импульса можно записать

Путем математических преобразований получаем закон сохранения импульса в векторной форме:

, где

Закон сохранения импульса в проекциях на оси координат можно записать: