Лекция 3 Основы кинематики

Кинематика жидкости. Основные уравнения динамики жидкости. Динамика идеальной жидкости. Теорема Бернулли.

Переменные Лагранжа и Эйлера.

В кинематике жидкостей и газов изучается движение частиц в пространстве в зависимости от времени, без выяснения причин вызывающих это движение.

Существует два метода изучения движения частиц. Один из них, называемый методом Лагранжа, изучает движение в пространстве каждой индивидуальной частицы. Другими словами мы следим за движением определенных частиц М на протяжении времени t , в течении которого эти частицы проходят через всю рассматриваемую область.

Рисунок

Положением каждой частицы будет определиться ее координатами, заданными в некоторый момент времени t=t₀ . В другой момент, координаты частицы определяются функциями:

x=f₁(x₀,y₀,z₀,t)

y=f₂(x₀,y₀,z₀,t)

z=f₃(x₀,y₀,z₀,t)

Аргументы x₀,y₀,z₀,t называются перемещенными Лагранжа

Другой, называемый методом Эйлера изучаем движение, происхождение в каждой точке пространства в любой момент времени, а поведением отдельных частиц не интересуется.

Если в области движущийся жидкости наметить ряд точек (1,2,…), неподвижно скрепленных пространством, то через эту точку будут проходить частицы жидкости М.

Для времени t₁ частицы жидкости М будут иметь скорости u₁(t₁); u₂(t₂). Сопоставляя между собой картину скоростей можно судить о движении жидкости во времени.

В гидромеханике исследования ведутся как правило в переменных Эйлера, ввиду сложности метода Лагранжа.

Поле скоростей и ускорений

Движение сплошной среды характеризуется прежде всего скоростями ее частиц. В каждый момент времени они имеют определенную по величине и направлению скорость.

Если поле скоростей и давлений остается неизменным во времени, то движение называется установившимся.

В случае установившегося движения давление и скорость могут изменяться при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое, но в данной неподвижной относительно русла точке давление и скорость являются функциями только координат.

p=f₁(x,y,z)

v=f₂(x,y,z0

В случае неустановившегося течения давления и скорость зависят как от координат, так и от времени.

P=F₁(x,y,z,t) V=F₂(x,y,z,t)

В практике часто пользуются понятиями средн. скоростей. Обычно усреднение скорости производится либо по времени, либо по площади некоторого сечения потока.

Среднее значение величины скорости за промежуток времени t₀ представляет собой интеграл:

Средняя величина скорости по некоторой площади S определятся как

Вектор ускорения жидкой частицы, движущейся со скоростью V является индивидуальной производной по времени от вектора скорости

Т.к. вектор скорости в общем случае зависит от времени и координат

V=V(x,y,z.t), то по правилу дифференцирования сложной функции найден

Т.к. производные от координат движущейся точки по времени есть соответствующие проекции скоростей, т.е.

; ;

Получим

В проекциях на оси координат x,y,z это уравнение будет иметь вид:

Первое слагаемое первой части равенства выражаем изменение скорости во времени в некоторой фиксированной точке пространства, т.е местное изменение и поэтому называется локальной составляющей ускорения. Остальные слагаемые характеризуют изменение скорости частицы при ее перемещении и называются конвективными составляющими ускорения.

При установившемся движении локальное ускорение всегда равно 0. при неустановившемся оно может обращаться в 0 лишь тогда, когда в данной точке скорость имеет max или min значение во времени.

Конвективное ускорение может быть при установившемся и неустановившемся движениях. Оно обращается в 0 лишь тогда, когда средняя скорость не зависит от координат.