1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение теплопроводности
,
(1)
в
прямоугольной области
,
где
и
– заданные положительные действительные
числа, и следующую нелокальную задачу.
Обратная
задача. Найти
в области
функции
и
,
удовлетворяющие условиям:
;
(2)
(3)
,
;
(4)
,
;
(5)
,
;
(6)
,
,
,
(7)
где
,
– заданные достаточно гладкие функции,
удовлетворяющие условиям согласования:
,
,
.
(8)
2. Формальное построение решения.
Продифференцируем
уравнение (4) по переменной
.
Тогда для функции
получим уравнение
.
(9)
При
этом функция
удовлетворяет следующим условиям:
;
(10)
,
;
(11)
,
;
(12)
,
;
(13)
,
;
(14)
Интегрирую
при фиксированном
по переменной
от
до
,
где
– достаточно малое число, уравнение
(9), то получим:
,
.
Отсюда
при
получаем:
,
,
,
,
то есть нелокальное условие (12) переходит к нелокальному условию
,
.
(15)
В дальнейшем вместо задачи (10) – (14) будем исследовать задачу (10), (11), (13) – (15).
Решение
данной задачи будем искать методом
разделения переменных. Пусть
.
Подставляя данное произведение в
уравнение (9) получим:
.
Разделяя переменные, получаем:
.
(16)
Левая
часть равенства (16) зависит только от
,
а правая часть – только от
,
поэтому равенство (16) возможно тогда и
только тогда, когда правая и левая части
представляют одну и ту же постоянную
.
(17)
Тогда из(17) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами:
,
,
(18)
,
.
(19)
Поскольку
при
,
то из условия (11) следует, что
,
(20)
.
(21)
Рассмотрим уравнение (18) и всевозможные значения λ.