3.4. Парабола

Определение 3.5. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается .

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат так, чтобы ось прошла через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к , а начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой.

В выбранной системе координат фокус , а уравнение директрисы имеет вид . Пусть  произвольная точка параболы. Соединим точку с , где называется фокальным радиусом точки . Проведем отрезок перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы . По формуле расстояния между двумя точками находим:

, а .

Следовательно,

.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

,

т.е.

. (3.7)

Уравнение (3.7) называется каноническим уравнением параболы.

Для любой точки параболы . Так как для точек эллипса и гиперболы , то для параболы естественно считать эксцентриситет .

Чтобы установить форму параболы и построить ее в прямоугольной системе координат , проведем исследование ее канонического уравнения.

1. В уравнении (3.7) переменная входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительна оси ; ось является осью симметрии параболы.

2. Так как , то из (3.7) следует, что . Следовательно, парабола расположена справа от оси .

Уравнения вида , и также определяют параболы, которые изображены на рисунке.

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , и любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

Замечание. Если вершина параболы или смещена в точку , то ее каноническое уравнение имеет вид

или .

Для параболы , осью симметрии служит прямая , а фокус имеет координаты , директриса описывается уравнением .

Аналогично для параболы , осью симметрии служит прямая , а фокус имеет координаты , директриса описывается уравнением .

Пример 3.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

.

Решение. Выделим в этом уравнении полные квадраты:







.

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке ; действительная полуось , мнимая полуось ; эксцентриситет

.



4. Уравнения поверхности и

ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1. Системы координат в пространстве

1. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Прямоугольная декартова система координат в пространстве определяется тремя пересекающимися в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке и масштаба (отрезка для измерения длин).

Прямоугольная система координат в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y и z  их координатами.

Каждая пара координатных осей определяет координатную плоскость. Координатные плоскости обозначают соответственно , , . Эти координатные плоскости делят все точки пространства, на принадлежащие им, на восемь частей, называемых октантами.