2.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

. (2.7)

Равенство (2.7) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .

2.6. Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая L на осях координат и отсекает отрезки длиной и соответственно.

. (2.8)

Равенство (2.8) называется уравнением прямой в отрезках на осях.

Пример 2.1. Даны вершины . Сделать рисунок. Найти: 1) уравнение стороны ;

2) уравнение медианы ;

3) уравнение высоты ;

4) координаты точки пересечения медианы и высоты .

Решение. 1) Воспользуемся уравнением (2.7):

  .

Итак,  уравнение стороны .

2) Находим координаты точки  середины :

; .

Следовательно, . Используя формулу (2.7), находим уравнение медианы :

  .

Итак,  уравнение медианы .

3) Рассмотрим вектор . Вектор , т.е  нормальный вектор прямой . Чтобы составить уравнение высоты , воспользуемся формулой (2.1):

 .

Итак,  уравнение высоты .

4) Чтобы найти координаты точки , где , то составляем и решаем систему уравнений

  .

Итак,  точка пересечения медианы и высоты .



Пример 2.2. Найти угол наклона к оси прямой L, если

.

Решение. Запишем уравнение прямой через угловой коэффициент:

  .

Значит, . Следовательно, . 

2.7. Расположение двух прямых на плоскости

Пусть заданы уравнения двух прямых и . Чтобы определить координаты точки пересечения составляют и решают систему уравнений:

.

Если система уравнений не имеет решений, то две прямые параллельны. Если система уравнений имеет бесчисленное множество решений, то две прямые совпадают.

Условия параллельности двух прямых

Способы задания уравнений прямых	Условия параллельности
1. и . и  нормальные векторы	  условия параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями
2. и . и  угловые коэффициенты	  условия параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами
3. и . и  направляющие векторы	  условия параллельности двух прямых, заданных канонически

Условия перпендикулярности двух прямых

Способы задания уравнений прямых	Условия перпендикулярности
1. и . и  нормальные векторы	  условия перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями
2. и . и  угловые коэффициенты	 условия перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами
3. и . и  направляющие векторы	  условия перпендикулярности двух прямых, заданных канонически