6.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Векторы
.
Тогда
.
(6.5)
Равенство (6.5) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .
6.3. Общие уравнения прямой в пространстве
Прямую в пространстве можно однозначно определить пересечением двух плоскостей
,
(6.4)
нормальные векторы
и
которых не параллельны. Уравнения (6.4)
называются общими уравнениями прямой
в пространстве.
Так как прямая L
перпендикулярна векторам
и
,
то за направляющий вектор
прямой L можно принять
векторное произведение
:
.
Пример 6.1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной в общем виде
.
Решение. Находим направляющий
вектор данной прямой, если
и
:
.
Пусть
,
тогда получаем и решаем систему уравнений
.
Находим точку
.
Используя равенства (6.1) получаем
канонические уравнения прямой
.
Из условия
получаем следующие параметрические
уравнения прямой L:
.
6.4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
В пространстве две прямые могут:
1) совпадать;
2) быть параллельными;
3) пересекаться;
4) быть скрещивающимися.
Чтобы изучить взаимное расположение двух прямых в пространстве, воспользуемся их каноническими уравнениями.
Пусть даны две прямые:
и
с направляющими векторами
и
соответственно.
Все возможные ситуации удобно исследуются
по изучению взаимного расположения
трех векторов:
,
и
,
где
.
6.5. Угол между двумя прямыми
Углом между двумя прямыми L1 и L2 называют любой из смежных углов, образуемых при их пересечении.
Пусть даны две прямые:
и
с направляющими векторами и соответственно.
Тогда
.
(6.5)
6.6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Расстоянием от точки до прямой называют дину перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.
Пусть дана точка
и прямая
с направляющим вектором
.
Тогда расстояние от точки
до прямой L находится
по следующей формуле
.
(6.6)
Две прямые L1 и L2 называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из прямых, т.е. длина их общего перпендикуляра.
Если две прямые заданы каноническими уравнениями
и
с направляющими векторами и соответственно, то расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по следующей формуле
.
(6.7)
6.7. Взаимное расположение прямой и плоскости
В пространстве прямая и плоскость могут:
1)
;
2)
;
3)
.
Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:
,
плоскость P – общим уравнением
.
Тогда рассмотрим следующие случаи:
