5.6. Расположение двух плоскостей Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть две плоскости P1 и P2 заданы своими общими уравнениями:
;
.
Если плоскости P1
и P2 параллельны,
то параллельны и их нормальные векторы
и
.
Отсюда, учитывая условие параллельности
векторов, получаем условие параллельности
двух плоскостей:
.
Если
,
то
и, значит, условие перпендикулярности
двух плоскостей имеет вид:
.
Угол между двумя плоскостями
Если коэффициенты
и
плоскостей
;
не пропорциональны, то плоскости P1 и P2 пересекаются по некоторой прямой L. Проведем плоскость P, перпендикулярную к линии L. Эта плоскость пересекается с P1 и P2 по прямым и . Угол между прямыми и называется углом между плоскостями P1 и P2.
Поскольку
и
,
то угол между векторами
и
(
)
равен углу
между плоскостями P1
и P2. Тогда
равенство
(5.7)
и определяет косинус искомого угла между плоскостями P1 и P2.
5.7. Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка
и плоскость
.
Расстояние от точки
до плоскости P находится
по формуле
.
(5.8)
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.
Пример 5.3. Установить взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельные, то найти расстояние между плоскостями; если плоскости пересекаются, найти угол между плоскостями:
и
;
и
.
Решение. 1) Определяем координаты
нормальных векторов данных плоскостей:
и
.
Так как выполняется условие
,
то плоскости P1
и P2 параллельны.
Например, в плоскости P2
выберем точку M,
принадлежащую этой плоскости. Для этого,
например, придадим переменным x
и y значения равные
нулю, т.е.
и
,
и найдем z:
.
Значит
.
Найдем расстояние от точки M
до плоскости P1:
.
2) Определяем координаты нормальных
векторов данных плоскостей:
и
.
Так как выполняется условие
,
то плоскости P1
и P2 не являются
параллельны. Значит, они пересекаются.
Используя формулу (5.8) находим косинус угла между этими плоскостями:
.
Тогда
.
6. Уравнение прямой
В ПРОСТРАНСТВЕ
6.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
Прямая L в пространстве определяется однозначно, если:
а) известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой;
б) или известны две точки этой прямой.
Постановка задачи: Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку
,
и параллельной вектору
.
Вектор
называется направляющим вектором
прямой.
.
(6.1)
Равенства (6.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Пусть
и
радиус-векторы
точек
и
соответственно. Тогда три вектора
,
и
связаны соотношением
.
(6.2)
Так как векторы
и
коллинеарны, то существует число
,
такое, что
.
Тогда из уравнения (6.2) имеем
.
(6.3)
Соотношение (6.3) называется векторным параметрическим уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (6.3) равносильно трем уравнениям
,
,
(6.4)
Равенства (6.4) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Замечание. Уравнение (6.1) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (6.4), исключив параметр . Из уравнений (6.4) находим
.