10. Определение показателей качества переходного процесса скорректированной системы

По графику h(t) скорректированной системы (рис. 9) необходимо определить основные показатели качества переходного процесса скорректированной системы – время регулирования t_р, относительное перерегулирование σ, частоту колебаний ω (период колебаний Т), число колебаний N за время регулирования.

Рис 9. Переходная функция скорректированной системы

период колебаний Т=0,9473 с, число колебаний N=0,53

Относительное перерегулирование:

Следовательно относительная величина перерегулирования уменьшилась по сравнению с заданной, а значит время регулирования должно увеличиться. Чтобы определить время регулирования нужно знать . Теоретически считается, что переходной процесс длится бесконечно, но на практике считают, что он заканчивается, как только отклонение регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать нормы:

Тогда время регулирования t_р = 0,5 (с), что меньше по заданию.

11. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Гурвица

Для определения устойчивости систем любого порядка применяют алгебраический критерий А. Гурвица: система будет устойчивой, если определитель Гурвица, все его диагональные миноры и первый коэффициент характеристического уравнения а₀ положительны:

а₀ >0; Δ₁>0; Δ₂>0;…; Δ_n>0.

Определитель Гурвица строят по коэффициентам характеристического уравнения:

.

Существует правило: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Максимальный индекс коэффициента n (n – порядок характеристического уравнения), минимальный нуль. Столбец заполняется до положенного числа n элементов нулями.

Номер диагонального минора определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляется данный минор.

Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид

.

Коэффициенты характеристического уравнения:

=4,4918*10^-3

=1,3113

=12,76

=146,52

=365,5

Δ₁= а₁=1,3113;

=16,1;

=1,7273*10³;

=6,31*10⁵

12. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Михайлова

Для определения устойчивости систем по критерию А.В. Михайлова следует построить кривую, го­дограф Михайлова, т.е. годограф, который описывает на комплексной плоскости, вектор получаемый из вектора D(р) заменой р на jω (см. рис 10).

Критерий Михайлова формулируется следующим образом [1]: линейная система n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0 до +∞ охватывает начало координат и проходит последовательно n квадрантов, повернувшись против часовой стрелки на угол , где n – порядок системы.

Годограф Михайлова строят обычно следующим образом:

1. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого полагают, что M(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в В(ω) частот, при которых происходит пересечение с вещественной осью.

2. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого полагают В(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в M(ω) частот, при которых происходит пересечение с мнимой осью.

Если система устойчива, то полученные частоты должны чередоваться: частоты с ве­щественной осью – ω₁, ω₃, ω₅ и т.д.; частоты пересечения с мнимой осью – ω₂, ω₄, ω₆ и т.д. Причем:

ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃

Строим годограф Михайлова:

.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает вещественную ось. При этом M(ω)= 0.

;

ω₁ = 0 с^-1; ω₃ = 10,57 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₁ и ω₃ в B(ω):

В(ω₁) =365,5; В(ω₃) = -10045.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось. При этом B(ω)= 0.

Отбрасывая отрицательные значения корней уравнения (частот), получим:

ω₂ = 5,378 с^-1; ω₄ = 53 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₂ и ω₄ в M(ω):

M(ω₂) =584; M(ω₄) = -1,879·10⁵.

Т.к. ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃, то система должна быть устойчива. Годограф Михайлова представлен на рис. 10.

Рис. 10. Годограф Михайлова.

Имеем систему 4-го порядка. Годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно прохо­дит 4 квадранта, а вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки на угол 4π/2.

Следовательно, система устойчива.