1.2. Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х

Тепер розглянемо випадок розв’язування задачі нелінійного програмування з обмеженнями. Припустимо, що задача полягає в наступному: необхідно знайти максимум функції f(х) за обмежень

, , (3)

, .

Крім того, будемо вважати, що функція f(х) є ввігнутою диференційованою функцією.

При розв’язуванні подібних задач трапляються два випадки:

1) цільова функція має єдиний екстремум, і він знаходиться всередині області допустимих розв’язків. Тоді процес розв’язування задачі (пошук оптимальної точки х*) нічим не відрізняється від уже розглянутого;

2) цільова функція набуває свого екстремального значення в точці, що знаходиться на границі допустимої області. В цьому випадку послідовність розв’язування задачі наступна. Якщо початкова точка х_k лежить всередині допустимої області (всі обмеження виконуються як строгі нерівності), то переміщуватися потрібно в напрямку градієнту. Але координати чергової точки повинні задовольняти обмеженням (3), тобто повинні виконуватись нерівності

(4)

Розв’язуючи систему (4) лінійних нерівностей, знаходимо проміжок допустимих значень параметру , при яких точка x₁ буде належати допустимій області. Значення , яке одержується в результаті розв’язування рівняння (2)

,

повинно належати проміжку . Якщо значення виходить за межі проміжку, то за приймається . При цьому чергова точка пошукової траєкторії опиняється на граничній гіперплощині, що відповідає нерівності системи (4), виходячи з якої при розв’язанні системи отримано значення .

Якщо початкова точка х_k лежить на граничній гіперплощині (або чергова точка пошукової траєкторії опинилась на граничній траєкторії), то напрямок переміщення визначається із розв’язку наступної допоміжної задачі математичного програмування:

(5)

(6)

для тих і, при яких

, (7)

, (8)

де ; .

Умова (7) визначає належність точки х_k границі допустимої області. Умова (6) означає те, що переміщення з точки х_k по вектору r_k буде відбуватися всередину допустимої області або по її границі, а умова (8) необхідна для обмеження величини r_k. Для наступної точки пошукової траєкторії

знаходиться значення параметра . При цьому використовується необхідна умова екстремуму:

.

Процес розв’язування припиняється при досягненні точки , в якій

.

Приклад 2. Максимізувати за таких обмежень

,

Оптимізаційний пошук почати з точки x₀ = (1; 0,5).

Розв’язування. Точка x₀ = (1; 0,5) лежить всередині допустимої області, значення функції в точці x₀ f(x₀) = 8,75. За напрямок переміщення в наступну точку x₁ приймаємо напрямок градієнту в точці x₀ = (1; 0,5).

Градієнт у точці х₀ дорівнює . Виходячи з цього, можна записати координати наступної точки

.

Визначимо проміжок допустимих значений для параметру , при яких точка x₁ буде належати допустимій області. В цьому випадку система нерівностей (4) має вигляд

З розв’язку цієї системи знаходимо проміжок . Розв’язавши рівняння

,

визначимо значення параметру , при якому приріст функції досягає найбільшої величини. Але значення не належить проміжку , тому приймаємо .

Нова точка x₁ = (1,36; 0,95) знаходиться на граничній прямій, яка визначається другим обмеженням–нерівністю (тією нерівністю, якій відповідає значення ). В точці x₁ значення функції . Оскільки точка х₁ лежить на граничній прямій, то напрямок переміщення в наступну точку х₂ визначаємо за вектором r₁ (рух в напрямку градієнта виводить з допустимої області). Для визначення координат вектора r₁ запишемо допоміжну задачу (5) – (8):

максимізувати

за обмежень

;

.

Система рівнянь цієї задачі має два розв’язки: (0,5568;– 0,8352) і (– 0,5568; 0,8352). Підставляючи ці розв’язки у функцію , одержуємо, що максимальне значення функції і досягається при (– 0,5568; 0,8352), тобто переміщуватися з х₁ треба вздовж вектору r₁ = (– 0,5568; 0,8352) по другій граничній прямій (мал. 2). Координати наступної точки х₂ дорівнюють

,

а градієнт

.

Знову визначаємо проміжок допустимих значень параметра , при яких точка х₂ буде належати допустимій області.

До системи обмежень, які повинна задовольняти точка х₂, не увійде друге обмеження, оскільки ця точка лежить на граничній прямій, визначеній цим обмеженням. Розв’язуючи дану систему, знаходимо проміжок

.

З використанням необхідної умови екстремуму

отримуємо . Але значення не належить проміжку , тому приймаємо . Нова точка х₂ = (1,36-0,557х1.01; 0,95+0,835х1,01)=(0,8; 1,8) лежить на перетині двох граничних прямих, які відповідають першій і другій нерівностям системи обмежень. У цій точці функція набуває значення

.

Визначимо напрямок переміщення з точки х₂ – вектор r₂ = (r₂₁; r₂₂):

максимізувати

за обмежень

;

.

Система рівнянь задачі має розв’язок r₂ = (0; 0). Підставляючи одержаний розв’язок у функцію T, дістаємо, що максимум T = 0, а це означає те, що х₂ є точкою максимуму цільової функції в допустимій області, тобто х₂ = х* і max f (х*) = 12,68. Як видно з мал. 2, лінія рівня f(х)дотикається до границі допустимої області в точці х₂.

Мал. 2