Измерение как установление соответствия двух систем

Смысл измерения состоит в установлении взаимно однозначного соответствия между отношениями объектов и характеристиками чисел, им приписанных. Это означает выдвижение изоморфизма как основного условия, соблюдение которого необходимо при измерении.

П. Суппес и Дж. Зинес [4] ввели понятие "системы с отношениями" как конечной последовательности вида и = {A , R₁ , R_г , . . . , R_п} , где A – непустое множество, называемое областью системы с отношениями, а R₁ , R₂ , . . . , R_n – отношения в A.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ. к – местным (или к –арным) отношением R ( х_j , . . . , х_k) называется всякое подмножество декартова произведения множеств A₁ , A₂ , A₃ , . . . , A_k , – A₁ ^x A₂ ^{x … x}A_k , которые могут как совпадать, так и не совпадать.

Нарисованный квадрат представляет собой декартово произведение двух множеств A ^x A. Двуместным (бинарным) отношением равенства (=) является прямая х, = х_г ; двуместным отношение больше ( > ) — треугольник I без прямой х, = х_г .

Если А –множество живущих в настоящее время людей, то отношение R такое, что для всех a, b A справедливо a R₁ b тогда и только тогда, когда a родился раньше b, будет двуместным; отношение R₂ , такое, что для всех a, b, c A справедливо a R₂ b c тогда и только тогда, когда a родился рань

6

ше и b и c, будет трёхместным.

Для указания элементов, фигурирующих в некотором (явно не выписанном) отношении, это отношение представляется обозначением типа

R (x₁ , x₂ , . . . , x_k).

Легко видеть, что, поскольку отношение представляет собой некоторое множество, можно говорить о сложном отношении (или метаотношении) M ( R₁ , R₂ , . . . , R_k ), где R_i – отношение на множестве A_i .

Пусть на множестве живущих в настоящее время людей определено двуместное отношение эквивалентности R ( ~ ) по возрасту и двуместное отношение старше M ( > ). Тогда M ( R , R ) (a ~ b ) > (c ~ d) есть сравнение двух пар людей по возрасту.

Система с отношениями называется числовой , если её область есть некоторое подмножество множества действительных чисел, и эмпирической – если её область есть множество реальных объектов.

Тип системы с отношениями определяется следующим образом: пусть s = { т₁ , . . . , m_i , . . . , m_n }, где n – мерный вектор, компоненты которого суть натуральные числа; система с отношениями и = {а, R₁ , . . . , R_n} является системой типа s, если для каждого i = 1 , 2 , . . . , n отношение R_i есть m_i – местное отношение. Две системы одного и того же типа называются подобными.

Основная проблема теории измерения заключается в установлении связи между эмпирической системой и подобной ей числовой системой. Эта связь может быть установлена изоморфно, если одному элементу числовой области ставится в соответствие один и только один элемент из области эмпирической системы; или гомоморфно, если разным объектам может быть приписано одно и то же число, т.е. нескольким элементам из области эмпирической системы соответствует один элемент из области числовой системы.

Две подобные системы – u={A, R₁ , . . . , R_n} и k={B, S₁ , . . . , S_n} – изоморфны, если имеется взаимно однозначное отображение A в B (f), такое, что для каждого i = 1 , 2 , . . . , n и каждой последовательности {а₁ , . . . , a_m } элементов из A отношение R_i (a₁, . . . , a_m ) имеет место тогда и только

7

тогда, когда существует S_i [f( a₁) , . . . , f(a_m )].

Если f – однозначное отображение A в B , то k и и гомоморфны.

В теории измерений, которая является основой для работ польских социологов [5]*^, изоморфно связываются два отношения R и S : отношение f отображает изоморфно отношение R , действующее во множестве A, на отношение S , действующее во множестве B, тогда и только тогда, когда f есть отношение взаимной однозначности, действующее из A в B так, что выполняется

В сущности это есть определение изоморфизма двух систем с отношениями U= {A , R} и k ={B, S} , данное в работе [4]. С точки зрения теории П. Суппеса и Дж. Зинеса это частный случай: в работе [5]¹ рассматриваются лишь те системы с отношениями, в области которых определено одно бинарное отношение.

В определении гомоморфного отображения отношения R на отношение S требование взаимной однозначности f заменяется требованием однозначности f.

Под измерением понимается получение численных характеристик признака, в отношении которого объекты изучаются. В работе [5] автор вводит термин "семейство признака", в отношении которого проводится измерение, причем семейство признака называется семейством величин тогда и только тогда, когда существует упорядочивающее отношение и отношение взаимной однозначности , действующее из в подмножество множества действительных чисел и удовлетворяющее для всех условию

8