Измерение изменений с учетом структуры множества
Ниже
предлагается метод, учитывающий
изменения, происходящие за период от
до 
с отдельными подмножествами объектов
, состоящими
из объектов, попавших в градацию x
по
признаку X
в момент
.
Таким образом, в момент
любая
группа объектов
будет
максимально однородной по признаку X
по определению самой группы. Однако
этого нельзя сказать для момента
,
так как объекты 
в
момент
могут принадлежать 
(m
i) в момент
,
т.е. в момент
группа
,
будучи раньше максимально однородной,
перестает быть таковой.
Используя (I2), вычислим изменение, происшедшее с выделенным нами подмножеством объектов за период времени от
82
до . Очевидно, что в момент для множества объектов было действительно следующее распределение вероятностей p(x ):
p(x
)
=
Тогда из (I2) получим
(X
)
=
+
p(x
)
log
+ p(x
)
(I3)
p(x
)
log
p(x
)
;
(
)
= 1
(X
).
Так
как при получении (I2) за исходное множество
принималось 
и
вычислялось изменение, происшедшее
только с ним, то под
следует
понимать долю объектов
от
общего множества объектов
,
которые в момент
попадали в градацию x
по признаку
X
.
Если p(x ) = 0 , то ( ) = 1, т.е. изменение, происшедшее с , максимально.
Если p(x ) = 1 , то ( ) = 0, т.е. изменение, произошедшее с , минимально.
Для
оценки изменений, происшедших со всем
комплексом подмножеств
i = 
за период
,
удобно использовать меру
(X
).
(X
)
=
p(x
)
(
),
(I4)
где определяется по формуле (I3).
I. Если каждое множество объектов в момент одинаково с множеством объектов в момент по признаку X , то (X ) = 0. Ранее показано, что в этом случае все ( ) = 0. Тогда из (I3) следует, что (X ) = 0.
83
2. Если (X ) = 0, то каждое множество объектов в момент одинаково с множеством объектов в момент времени по признаку X .
Ранее
показано, что
(
)
0. Поэтому
из равенства нулю
(X
)
и (I4) следует, что
(
)
= 0, т.е.
множество объектов
в момент
одинаково с
в момент
по признаку
X
.
3. Если каждое множество объектов в момент максимально отличается от в момент по признаку X , то (X ) = 1. Это следует из p(x ) = 1 и доказанного ранее, когда выполняются исходные условия настоящего пункта.
4. Если (X ) = 1, то каждое множество объектов в момент максимально отличается от множества объектов в момент по признаку X .
При доказательстве понадобятся выражения
p(x
)
= 1 и
0
(
)
1, i =
.
Допустим,
что все
(
)
в выражении (I4) меньше единицы. Выберем
среди них максимальное и обозначим его
Q
.
Тогда можно записать, что Q
<
1 и
p(x ) ( ) Q p(x ) < 1, что противоречит исходному условию.
Следовательно,
среди
(
)
должно быть хотя бы одно
(
)
= 1. Тогда,
используя исходное условие, запишем
1
p(
)
(
)
=
p(x
)
(
)
84
или
p( ) = p(x ) ( )
Из равенства
p(x
)
(
)
= 0
следует, что
( ) = 1, i= 1, t , i ,
что и требовалось доказать.
5. 0 (X ) 1. И левая и правая стороны неравенства доказываются элементарно.
85
Литература
I. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963.
2. Rajski C. Fransactions of the third Prague conference. Information theory statistical decision functions random processes. 1962, p.583.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.I, М., 1962.
86