2. Модели производственных затрат и прибыли предприятия. Точка безубыточности.
Простейшая экономико-математическая модель производства основана на том, что общие издержки С(х) на производство продукции в количестве х единиц, состоят из двух частей:
- постоянные издержки (С0)
- переменные (пропорциональные) издержки (С1=bx),
где b – расходы (сырья, материалов, энергии) в расчете на одно изделие в денежном выражении.
Модель совокупных издержек имеет вид:
C(x)=C0+bx.
Параметры этой модели (C0 и b) определяются
обычно одним из двух способов:
нормативным (отчетным);
из уравнения регрессии.
а) При использовании нормативного (отчетного) способа параметры задаются при описании технологии производства и статей производственных расходов или на основании отчетных данных.
Пример. Дано, что постоянные затраты C0 составили 500 тыс.руб. в месяц, а переменные расходы «b» в расчете на одно изделие - 6 тыс.руб.
Тогда линейная модель затрат имеет вид:
C(x)=500+6x.
б) При помощи разработки линейного уравнения регрессии по статистическим данным.
Пример. Имеется таблица наблюдений
Применяя методы регрессионного анализа получим уравнение:
C(х)=4,71+0,57x
Объем производства (x) |
100 |
120 |
140 |
160 |
180 |
200 |
Производственные издержки C(x) млн.руб. |
61 |
73 |
85 |
96 |
107 |
118 |
Линейная модель прибыли строится на основе данных о валовом доходе и производственных затратах:
PR(x) = px - C(x)
где px – валовой доход, PR – величина прибыли.
Линейная модель прибыли имеет вид:
PR(x)=px - C0 – bx = -C0 +(p-b)x .
Анализ этой формулы дает следующие результаты:
а) Если pb (цена изделия не превышает удельных переменных затрат), то PR0.
Производство не является прибыльным при любом количестве изделий.
б) Если p>b, то определяется точка безубыточности x0, т.е. количество изделий, которому соответствует прибыль, равная нулю:
Для всех xx0 производство убыточно PR0 ; для всех x>x0 производство прибыльно PR>0.
При увеличении цены p точка безубыточности смещается влево. Безубыточность достигается при меньшем количестве изделий (см. линию Б1).
Квадратичная модель затрат включает, кроме постоянных (С0) и переменных (С1) затрат, еще «сверхпропорциональные» затраты (С2), в составе которых учитываются затраты на расширение производства, оплата сверхурочного труда и т.п.
Для математического описания этого вида затрат используется степенная зависимость от объема выпуска С2=kx2,
где k>0 – параметр модели.
Таким образом, квадратичная модель затрат имеет вид:
С(х)=C0+ C1+ C2= C0+bx+kx2.
График функции С(х)=C0+ C1+ C2= C0+bx+kx2
представляет собой монотонно возрастающую параболическую функцию при x 0.
Для характеристики скорости возрастания издержек по мере роста выпуска продукции (х) используются понятия приростных и маргинальных издержек.
Приростные издержки вычисляются по формуле C=С(x+1)-C(x), которая характеризует затраты на выпуск дополнительной единицы продукции.
Маргинальными издержками называют приростные издержки в дифференциальной форме. Они вычисляются с использованием производной от функции затрат:
МС=С’(x)=b+2kx
Пример.
Пусть C(x)=4,71+0,57x+0,001x2, тогда маргинальные издержки равны MC=C(x)=0,57+0,002x.
x |
10 |
11 |
20 |
21 |
С(x) |
10,51 |
11,10 |
16,51 |
17,12 |
C |
0,59 |
0,61 |
||
MC |
0,59 |
0,592 |
0,61 |
0,612 |
Как видно из примера, приростные и маргинальные издержки возрастают по мере роста выпуска продукции.
Квадратичная модель прибыли строится на основе квадратичной модели затрат и имеет вид:
PR(x)=px-(C0+bx+kx2)=-C0-kx2+(p-b)x
Анализ этой формулы дает следующие результаты:
а) Если p b, то PR 0, т.е. производство будет убыточным при любом количестве изделий.
б) Если p >b, то существуют две точки безубыточности, которым соответствует нулевая прибыль.
При анализе по объему производства возможны три случая:
а) если x<x01, то PR < 0 и производство убыточно;
б) если x01 x x02, то PR 0 и производство прибыльно.
Данный отрезок называется зоной безубыточности.
в) если x>x02, то PR < 0 и производство снова убыточно.
В центре зоны безубыточности находится точка максимума прибыли xmax , значение которой определяется из условия равенства нулю первой производной от функции PR(x)=-C0-kx2+(p-b)x (1)
PR’(x)= -2kx+p-b=0 (2)
Отсюда (3)
В точке максимума прибыли [выражение (2)] p=MC(x), т.е. маргинальные издержки равны цене изделия.
Величина максимальной прибыли равна (после подстановки 3 в 1)
График квадратичной функции прибыли имеет вид:
При увеличении цены изделия p, зона безубыточности расширяется, а точка максимума сдвигается направо.
Пример.
Пусть С(x)=4,71+0,57х+0,001х2, цена p=0,9.
Тогда x01=14,95 15; x02=315; xmax=166. Зона безубыточности (15 x 315).
PRmax= 22,5 млн.руб.; МС(xmax)=0,9.