Практикум 4. Числовые ряды

Числовой ряд. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Общие свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сходимости рядов. Оценка остатка ряда. Структура цикла с неопределенным числом повторений WHILE … END.

1. Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел Рассмотрим выражение , представляющее собой «сумму бесконечного множества слагаемых». Оно называется числовым рядом, а сами числа - членами ряда. Член ряда с произвольным номером называется общим членом.

Например, есть ряд с общим членом , а есть ряд с общим членом .

Числа , , и т.д. называются частичными суммами ряда. Обобщая: -я частичная сумма есть сумма первых членов ряда: .

В качестве примера рассмотрим ряд .. Члены этого ряда , , образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем и, значит, -я частичная сумма этого ряда является суммой первых членов геометрической прогрессии и может быть найдена по формуле , . Таким образом, .

Если последовательность частичных сумм ряда имеет конечный предел, т.е. существует число , то ряд называется сходящимся, а число называется суммой ряда. В этом случае также говорят, что ряд сходится к сумме и пишут . Если же равен бесконечности или не существует, то говорят, что ряд расходится или, что он не имеет суммы.

Продолжим рассмотрение примера. Для ряда конечный предел частичных сумм существует: . Следовательно, этот ряд сходится и его сумма равна .

Все упражнения аккуратно проделать и сделать дома в тонких тетрадях, и принести как часть отчета по лабораторной работе

Упражнение 1. Создать M-функцию, которая строит в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. При построении этой пары графиков использовать разные цвета и маркеры. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и число рассматриваемых членов. В качестве выходных параметров вывести значения . Применить созданную М-функцию для исследования следующих рядов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

а) Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.

б) Для 1, 2 и 6 рядов доказать, опираясь на определение, выдвинутую гипотезу о сходимости (расходимости) ряда, и в случае сходимости ряда, найти точное значение суммы (сделать дома и принести как часть отчета по лабораторной работе; указание для 6-го ряда: общий член ряда разложить на сумму элементарных дробей и получить выражение для ).

Рекомендации к упр.1:

Как вариант, можно построить графики в одном графическом окне, но в разных графических областях, т.е. воспользоваться subplot. В одной графической области построить ,в другой .

В любом случае для наглядности получаемых результатов рекомендую включить паузу после каждого действия ,

А для автоматизации создания хорошей системы координат не писать , но написать

axis([-1 N+1 -1 max(a_n)+1]),

line([-1 0; N+1 0],[0 -1;0 max(S)+1],'LineWidth',1,'Color','black')