1.8. Некоторые обобщения

Рассмотрим, например, функцию потребления:

,

где с - потребление некоторых пищевых продуктов на душу населения в некотором году;

y - реальные доходы на душу населения;

p - индекс цен на этот продукт;

₀, ₁, ₂ - константы.

Это уравнение описывает (в среднем) поведение потребителя по отношению к покупке данного пищевого продукта в зависимости от уровня цен и реального душевого дохода.

Закон поведения будет определен, как только мы найдем значения коэффициентов ₀, ₁, ₂. Соответственно задача эконометрики - определить (оценить) эти коэффициенты. Но это не единственная задача. Можно задать много других вопросов, например, нет ли переменных, которые следовало бы дополнительно включить в уравнение? Не следует ли исключить из уравнения некоторые переменные? Насколько адекватно измерены наши данные? Верно ли, что модель линейная? и т.д. Эконометрика рассматривает все эти вопросы в полном объеме. При этом в зависимости от конкретных обстоятельств и ситуации могут формироваться различные модели: однофакторные, двухфакторные и многофакторные. Формируются они, главным образом, на основе классических регрессионных моделей.

Пример: пусть - спрос на товар в момент t, - предложение товара в момент t, p_t - цена товара в момент времени t, y_t - доход в момент времени t. В этом случае уравнение спроса, предложения имеет вид:

1. (уравнение спроса).

2. (уравнение предложения).

Рассмотрим модель парной регрессии. Пусть у нас есть набор значений двух переменных: x_t, y_t, t = 1,2,..., n. Предположим, что задачей является подобрать функцию y = f(x) из параметрического семейства функций f(x, ), наилучшим образом описывающую зависимость y от x. Поиск функции данного типа означает практически, что нужно выбрать "наилучшее" значение параметра .

В качестве меры отклонения функции f (x, ) от набора наблюдений можно взять:

- сумму квадратов отклонений, т.е.

;

- сумму модулей отклонений, т.е.

;

- или в общем случае

,

где g - "мера", с которой отклонение входит в функцию F.

Достоинства и недостатки перечисленных функционалов:

1) Сумма квадратов отклонений

плюсы:

- легкость вычислительной процедуры;

- хорошие статистические свойства, простота математических выводов, тщательная проверка различных статистических гипотез.

минусы:

- чувствительность к выбросам (outliers).

2) Сумма модулей отклонений

плюсы:

- нечувствительность к выбросам.

минусы:

- сложность вычислительной процедуры;

- возможность больших отклонений между фактическими и проектными функциями;

- неоднозначность значений параметров и т.д.

Это всего лишь исходные предпосылки для изучения курса. Чувствуется, что для овладения эконометрическими методами необходимо:

а) иметь представление об экономике и экономическом образе мышления;

б) знать в достаточной степени теорию функционального анализа, т.е. высшую математику с практических позиций;

в) уметь ставить и представлять ход поведения экономических процессов.

1.9. Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение максимума, минимума функции в точке М₀ (х₀, у₀).

2. Сформулируйте необходимые условия для существования экстремума функции.

3. Сформулируйте, при каких обстоятельствах достигает функция максимума, минимума, при каких обстоятельствах остается вопрос открытым и требуются дополнительные исследования.

4. В чем экономический смысл уравнения связи? Как она выбирается?

5. При каких обстоятельствах используется метод неопределенных множителей Лагранжа?

6. В чем экономический смысл метода наименьших квадратов?

7. Каким образом определяются параметры системы? Например, а, b, c для функции

у = .

8. В чем экономический смысл величины ε₁, ε₂, …, ε_n в системе МНК? Всегда ли они имеют место?

9. Сформулируйте правило составления системы стандартных уравнений.

10. Составьте систему стандартных уравнений для следующих функций:

1. у = а - bx; 2. y = ;

3. y = a + bx + c ; 4. y = ;

5. y = ; 6. y = a · b^x;

7. y = a · x^b; 8. y = a + a₁x₁ + a₂x₂.

11. Прокомментируйте наиболее привлекательные функции для исследования спроса, предложения, выпуска продукции.

12. Дайте оценку функции у = ℓоg х для исследования спроса, выпуска продукции.

13. Сформулируйте общую схему исследования функции и построения их графиков.