1.6.9. Логарифмическая функция

Функция, определяемая равенством

где а – положительное, отличное от единицы число, называется логарифмической функций. По существу логарифмическая функция обратна показательной, поэтому график ее симметричен графику показательной функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

На рис. 22 показаны графики функции (пунктирная линия) и (сплошная линия), а на рис. 23 графики функций и .

Свойства логарифмической функции легко можно усмотреть из рис. 21 и 22.

Логарифмическая функция определена только для положительных чисел (0 < x < +∞), т.е. график расположен правее оси ординат.

Если а > 1, то логарифмическая функции положительна при х > 1, отрицательная при 0 < х < 1 и равна нулю при х = 1.

Рис. 22 Рис. 23

При а > 1 логарифмическая функция возрастает. Если 0 < а < 1, то она положительна при 0 < х < 1, отрицательна при х > 1, равна нулю при х = 1.

Если 0 < а < 1, то функция является убывающей, если а > 1 график функции выпуклый; если 0 < а < 1 . то график логарифмической функции вогнут.

На рис. 24,25 представлены привлекательные функции для исследования (оценки) поведения различных технико-экономических показателей, в частности спроса и предложения.

Рис. 24

Рис. 25

1.7. Асимптоты с привлекательными функциями для измерения экономических процессов (показателей)

Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:

а) если х = а кривая у = f(x) имеет бесконечный разрыв, то прямая х = а является ее вертикальной асимптотой;

б) невертикальные асимптоты кривой у = f(x), если они существуют, имеют уравнения вида у = кх + b, где к и b определяются формулами:

и .

Пример. Найти асимптоты кривых:

Решение. 1. а) при х = 3 данная кривая имеет бесконечный разрыв. Поэтому прямая х = 3 есть вертикальная асимптота;

б) далее имеем невертикальные асимптоты:

;

Подставляя значения к и b в уравнение у = кх + b, получим уравнение невертикальной асимптоты: у = х – 3. Других невертикальных асимптот кривая не имеет, так как при значения к и b будут те же самые. Кривая (гипербола) изображена на рис. 26.