![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 1. Осмысление математического аппарата для решения экономических задач
- •1.1. Экстремум функции нескольких переменных
- •1.2. Достаточный признак существования экстремума
- •1.3. Условный экстремум
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.5. Правила составления систем стандартных уравнений
- •1.6.2. Биквадратная функция
- •1.6.3. Кубическая функция
- •1.6.4. Обратно пропорциональная функция
- •1.6.5. Дробно-линейная функция
- •1.6.6. Дробно-рациональные функции
- •1.6.7. Степенная функция
- •1.6.7.1. Степенная функция с натуральным показателем
- •1.6.7.2. Степенная функция с целым отрицательным показателем
- •1.6.7.3. Степенная функция с дробным показателем
- •1.6.8. Показательная функция
- •1.6.9. Логарифмическая функция
- •1.7. Асимптоты с привлекательными функциями для измерения экономических процессов (показателей)
- •1.8. Некоторые обобщения
- •1) Сумма квадратов отклонений
- •2) Сумма модулей отклонений
- •1.9. Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Тренировочные задачи
- •1.11. Тест к разделу 1
- •Раздел 2. Эконометрические модели
- •2.1. Измеряющие (регрессионные) модели и корреляция
- •2.1.1. Частная корреляция
- •2.2. Имитирование (интерпретация) регрессионных моделей
- •2.3. Эконометрические модели спроса
- •2.4. Эконометрические модели ценообразования
1.5. Правила составления систем стандартных уравнений
Существует определенное правило составления системы стандартных уравнений:
1. Записывается исходное уравнение:
y = a + bx.
2. Перемножаются все члены уравнения на коэффициент при первом неизвестном и суммируются. Одновременно первый член (а) умножается на (n), т.е. на число наблюдений:
.
3. Далее в системе перемножаются все члены уравнения на коэффициент при втором неизвестном и также суммируются:
и
т.д.
Итак, система стандартных уравнений для функции у = а + bx имеет вид:
Для параболы второй степени у = а + bх + сх2 система стандартных уравнений имеет вид:
Для параболы третьей степени у = а + bх + сх2 + dx3:
Для
функции у
= а +
система стандартных уравнений имеет
вид:
Для
функции у
=
система стандартных уравнений записывается
следующим образом:
=
а + bx + cz
Для функции у = а + а1х1 + а2х2 + а3х3 система стандартных уравнений имеет вид:
1.6. Наиболее привлекательные функции для измерения
экономических процессов (спроса, выпуска продукции,
ценообразования и других)
Для количественной оценки технико-экономических показателей, в частности спроса, предложения (выпуска продукции) и других возможно применение не только линейных, но и различных более усложненных функций.
1.6.1. Квадратичная функция
Зависимость между спросом и насыщенностью потребительского рынка вполне может выражаться функцией вида:
y = aх2 + bx + с,
где х - насыщенность рынка;
у - спрос;
а, b, с - параметры системы.
Предположим, что b = 0, с = 0. Тогда функция примет вид:
y = ax2.
График, последней функции в зависимости от величины коэффициентов а - принимает вид
Рис. 2
Осуществим преобразования функции:
Итак,
Первая
часть равенства есть сумма двух слагаемых,
из которых
зависит
от переменной х,
не
зависит от х,
следовательно, имеет постоянное значение.
Чтобы
получить график функции
,
имея график у
= ах2,
достаточно сдвинуть график у
= ах2
вдоль оси
абсцисс на отрезок, равный
,
а затем достаточно произвести перенос
вдоль оси ординат на величину
.
Т
аким
образом, чтобы получить график функции
у = ах2
+ bx
+ c
надо сдвинуть
график у =
ах2
сначала вдоль оси абсцисс на отрезок
,
а затем вдоль оси ординат на
.
На рис. 3 показаны графики функции у
= ах2
+ bx
+ c:
Рис. 3
1.6.2. Биквадратная функция
Функция вида
у = ах4 + bx2 + c (а ≠ 0)
называется биквадратной.
После преобразования получим:
Если b ≠ 0, то график функции получается либо из графика функции у = х4 + х2, либо из графика у = х4 - х2.
График функции у = х4 + х2, есть сумма графиков функции у = х4, у = х2. На рис. 4 показан график данной функции:
Рис. 4.
1.6.3. Кубическая функция
Функция вида у = ах3 + bх2 + cx + d, где a ≠ 0, b, c и d - любые числа, называется кубической. В зависимости от конкретных обстоятельств данную функцию также возможно использовать для оценки основных технико-экономических показателей, и в том числе спроса, предложения, равновесных цен и других.
Функция у = х3. Если а = 1, b = c = d = 0. В данном случае график функции имеет вид:
Рис. 5.