Метод элементарных преобразований.

1. Выбираем строку или столбец, в котором будем получать нули. Желательно, чтобы его числа были пропорциональными, либо одно из них равнялось единице. Пусть, например, это будет -й столбец.

2. Если выбрана строка, то действия проводятся над столбцами. В этом случае на втором этапе выбираем столбец, с помощью которого будем получать нули. Если же на первом этапе выбран столбец, то действия проводятся над строками. В этом случае на втором этапе выбираем строку. Пусть, например, мы выбрали -ю строку. Важно, чтобы элемент , расположенной на пересечении выбранных строки и столбца, был отличен от нуля. Лучше всего, если он равен единице.

3. Выбранную на втором этапе -ю строку прибавляем ко всем остальным строкам, умножая ее на различные числа. Эти числа подбираются таким образом, чтобы все элементы -го столбца, за исключением , обратились в нули.

Понижаем порядок определителя, разлагая его по выбранному столбцу (или строке). Это разложение имеет только одно слагаемое. Затем возвращаемся к первому пункту. Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим определитель третьего порядка, вычислять который мы уже умеем.

В том случае, когда вычисляемый определитель не имеет ни строки, ни столбца с пропорциональными числами, если среди его элементов нет ни одной единицы, а также, если вы просто не знаете, с чего начать преобразования, можно воспользоваться методом прямоугольников.

Метод прямоугольников заключается в следующем:

1. Выбираем элемент определителя, отличный от нуля и отмечаем его кружком. Этот элемент назовем опорным или разрешающим. Пусть это будет . Строку и столбец, на пересечении которых находится опорный элемент, назовем соответственно опорными строкой и столбцом.

2. Перед определителем записываем коэффициент, равный , где – порядок определителя.

3. Опорные строку и столбец вычеркиваем. Элемент, расположенный в -й строке -м столбце пересчитывается по формуле , где – опорный элемент. Это правило получило название правила прямоугольников: каждый элемент пересчитывается как определитель второго порядка, строки и столбцы которого проходят через опорный и через пересчитываемый элементы, а главной является диагональ, содержащая опорный элемент. Вот как это выглядит, например, если – опорный элемент, а пересчитывается : (элементы определителя второго порядка находятся в вершинах прямоугольника):

, .

Понижаем порядок определителя, разлагая его по опорному столбцу..

Пример 10. 19. Вычислить следующие определители:

а) ; б) ;

в) ;г) .

∆ а) Воспользуемся методом элементарных преобразований.

1. Заметим, что в первом столбце числа достаточно хорошие для вычислений и даже есть две единицы. Поэтому будем получать нули в первом столбце.

2. Из двух строк, имеющих в первом столбце единицы, первая имеет меньшие числа, поэтому для получения нулей будем использовать именно ее.

3. С этой целью ко второй и четвертой строкам прибавим первую, умноженную на (–2), к третьей – опять же первую, умноженную на (–3), а к четвертой – первую, умноженную на (–1):

4. Понижаем порядок определителя, разлагая его по первому столбцу:

.

Теперь применим тот же алгоритм к последнему определителю. Стрелками будем обозначать проводимые действия. Так, например, если ко второй строке прибавляем четвертую, умноженную на (–1), то стрелка идет в направлении от четвертой строки ко второй, и рядом с ней написана (–1).

.

б) Элементами этого определителя являются достаточно большие числа, поэтому, прежде чем приступать к получению нулей, полезно эти числа как-нибудь уменьшить. С этой целью к первому столбцу прибавим последний, умноженный на (–1). Получим:

.

Э тот определитель имеет хороший первый столбец, и его уже можно считать методом элементарных преобразований. Выполняемые действия отмечаем стрелками.

.

Последний определитель получился треугольным, поэтому он равен произведению диагональных элементов.

Замечание. Во избежание ошибок при вычислении определителя следите, чтобы все стрелки выходили из одной точки или входили в одну точку. В первом случае вы прибавляете одну и ту же строку или столбец ко всем остальным. А во втором – к одной строке или столбцу прибавляем линейную комбинацию всех остальных.

в) Самое плохое в этом определителе – это дроби. Чтобы от них избавиться, вынесем за знак определителя из первой строки , из второй – , из третьей – , а из четвертой – . Дальнейшие действия опять отмечаем стрелками. Получаем:

=

=

.

г) Этот определитель не имеет ни хорошего столбца, ни хорошей строки. Среди его элементов нет даже ни одной единицы. Применим метод прямоугольников. В качестве опорного элемента выберем, например, тройку, расположенную во второй строке и последнем столбце. Покажем подробно, как пересчитываются, например, элементы и (не забывайте, что главной является диагональ, содержащая опорный элемент):

, ;

, .

Пересчитывая таким же способом остальные элементы, последовательно получаем:

о

.▲

Теорема 10.2 (Лапласа). Если в определителе выделить строк (столбцов), то определитель равен сумме произведений всех миноров -го порядка, расположенных в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Следует заметить, что теорема Лапласа является обобщением теоремы о разложении по строке или столбцу.

Пример 10. 20. Используя теорему Лапласа, вычислить следующие определители:

а) ; б) .

∆ а) Если в определителе 5-го порядка выделить две строки или два столбца, то в них расположены миноров второго порядка, и, т.о., определитель представляется в виде суммы десяти слагаемых, тогда как при разложении по строке или столбцу слагаемых будет только пять, да и выписать их проще. Но если в заданном определителе выделить второй и четвертый столбцы, то можно заметить, что из всех миноров второго порядка, расположенных в этих столбцах, только один отличен от нуля: тот, который находится во второй и четвертой строках. В результате слагаемое остается только одно:

.

б) В этом определителе вообще нет нулей, поэтому, чтобы эффективно применить теорему Лапласа, мы его сначала преобразуем, а затем и вычислим по теореме Лапласа:

=

.▲

Пример 10. 21. Вычислить следующие определители:

а) ; б) .

∆ а) Каждый столбец этого определителя состоит из последовательных степеней одной и той же переменной, начиная с нулевой и заканчивая степенью, которую позволяет порядок. Такой определитель носит название определителя Вандермонда. Прибавив поочередно к каждой строке, начиная с последней, предыдущую, умноженную на , получим новый определитель и преобразуем его:

Разложим по первому столбцу новый определитель, а затем из каждого его столбца вынесем общий множитель:

.

Таким образом, мы свели определитель Вандермонда опять же к определителю Вандермонда, но имеющему порядок на единицу меньше. В результате переменная в определителе пропала, но перед ним появились множители , , . Аналогично от третьего порядка переходим ко второму, переменная в определителе при этом пропадает, зато появляются множители , . Таким образом,

.

В результате получили, что определитель Вандермонда четвертого порядка равен произведению всевозможных разностей переменных, от которых он зависит (эти переменные расположены в первой строке). При этом индекс вычитаемой переменной меньше индекса уменьшаемой. Этот результат можно записать, используя сокращенное обозначение произведения :

.

Методом математической индукции можно доказать, что для определителя Вандермонда -го порядка справедлива аналогичная формула:

.

б) При решении предыдущего примера был использован метод, при котором определитель определенного вида сводится к определителям такого же вида, но меньшего порядка. Он называется методом рекуррентных соотношений и применяется при вычислении определителей -го порядка. Этим методом и вычислим . Для начала разложим его по первой строке, а затем второй из полученных определителей еще и по первому столбцу:

.

Найдем определители при малых значениях :

, , .

Теперь видна закономерность:

. (10.4)

Для доказательства последней формулы воспользуемся методом математической индукции. Мы уже знаем, что формула истинна при равном единице, и даже при равном двойке и тройке. Предполагая, что формула верна для определителей го порядка, докажем ее для определителей порядка .

[во второй и третьей суммах делаем замену индекса]

,

что и требовалось доказать. ▲

Пример 10. 22. Все элементы определителя -го порядка являются дифференцируемыми функциями от одной переменной . Доказать, что для производной этого определителя, рассматриваемого как функция от , справедлива формула:

,

т.е. показать, что производная определителя -го порядка равна сумме определителей такого же порядка, в каждом из которых все элементы одной из строк исходного определителя заменены на их производные.

∆ Проверяем утверждение при :

–

истинно. Покажем, как из этого вытекает верность доказываемой формулы при :

[применяем правило дифференцирования произведения и формулу, доказанную для определителей второго порядка]

[делаем перегруппировку слагаемых]

[используем формулу разложения по первой строке]

.

Точно так же в предположении, что утверждение верно для определителей -го порядка, доказывается его справедливость для определителей порядка , только запись будет более громоздкой. ▲

31