- •2.2. Классификация и принципы построения математических моделей Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •Перечислим некоторые основные принципы построения математической модели:
- •4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Дана система линейных уравнений:
- •4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Возможны следующие варианты:
- •5. Методы решения задач линейного программирования
- •5.1. Общая и основная задачи линейного программирования
- •5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •Тот факт, что оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника одр, позволяет сделать еще два важных вывода:
- •Этапы нахождения решения задачи линейного программирования:
- •Симплексная таблица строится следующим образом:
- •5.5. Анализ симплекс-таблиц
Тот факт, что оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника одр, позволяет сделать еще два важных вывода:
если оптимальным решением являются координаты вершины многоугольника ОДР, значит, сколько вершин имеет ОДР, столько существует целевых функций и столько оптимальных решений по этим функциям может иметь задача.
поскольку, чем больше ограничений имеет задача, тем больше вершин, тo, следовательно, чем больше целевых функций и, следовательно, тем больше оптимальных решений по этим функциям.
Из рисунков можно сделать вывод, что вершина, координаты которой являются оптимальным решением, определяются углом наклона прямой, описывающей целевую функцию. Значит, каждая вершина будет соответствовать оптимальному решению для некоторой целевой функции. Итак, нахождение решения задачи линейного программирования (5.8)-(5.10) на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы.
Этапы нахождения решения задачи линейного программирования:
Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (5.9) и (5.10) знаков неравенств на знаки точных равенств.
Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Находят многоугольник решений (ОДР).
Строят вектор C=(с1; с2).
Строят прямую c1x1+c2x2=h, проходящую через многоугольник решений.
Передвигают прямую c1x1+c2x2=h в направлении вектора С, в результате чего-либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов.
Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Симплексный метод или метод последовательного улучшения плана является одним из основных методов решения задач ЛП. название симплексный метод берет от слова «симплекс», которым создатель метода Р. Данциг обозначил наложенное на переменные x1, x2 ... xn ограничение x1+x2+ ... +xn=1.
В математике симплексом в k-мерном пространстве называется совокупность k+1 вершин.
Так для плоскости при k=2 симплексом будет треугольник; в пространстве при k=3 симплексом будет тетраэдр, имеющий 4 вершины.
С учетом этого понятия аналитический метод решения задачи ЛП называют симплекс-методом. Он основан на алгоритме направленного перебора вершин. Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается.
Определение значения целевой функции и переменных в одной вершине считается итерацией.
Число итераций в реальных задачах может измеряться сотнями. Вручную, с помощью симплекс-метода, могут быть решены задачи, содержащие не более 10 итераций. Поэтому в реальных задачах применяют ЭВМ и пакеты прикладных программ (ППП).
Метод решения задач ЛП с помощью симплексных таблиц изложен на конкретном примере. Пусть требуется найти неотрицательное решение системы линейных неравенств:
x1+9x2 56
(5.14) x1+3x2 37
x1+2x2
обращающее в максимум линейную форму:
=3x1+4x2 (5.15)
Вначале перейдем от системы неравенств (5.14) к системе уравнений, добавив к левым частям неравенств неотрицательные переменные x3, x4, x5. Мы получим:
x1+9x2+x3+0 . x4+0 . x5=56
(5.16) x1+3x2+0 . x3+x4+0 . x5=37
x1+2x2+0 . x3+0 . x4+ x5
=x1+4x2+0 . x3+0 . x4+0 . x5 (5.17)
перепишем теперь систему (5.16) в виде системы 0-уравнений:
0=56 - (x1+9x2+1 . x3+0 . x4+0 . x5)
(5.18) 0=37 - (x1+3x2+0 . x3+1 . x4+0 . x5)
0=2 - (-x1+2x2+0 . x3+0 . x4+1 . x5
=0 - (-x1-4x2-0 . x3-0 . x4-0 . x5) (5.19)
заметим, что система (5.18) может быть записана в виде одного векторного равенства:
0=B-(A1x1+A2x2+A3x3+A4x4+A5x5),
где вектор-столбец В имеет своими компонентами свободные члены, а векторы A1, A2, ... , A5 - коэффициенты при соответствующих переменных x1, x2, x3, x4, x5. Иными словами:
|
56 |
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
В= |
37 |
|
A1= |
5 |
|
A2= |
3 |
|
A3= |
0 |
|
A4= |
1 |
|
A5= |
0 |
|
2 |
|
|
-1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
Линейная форма имеет вид: =x1+4x2+0 . x3+0 . x4+0 . x5.
Векторы A3, A4, A5 образуют базис. Это означает, что, присвоив х1=0, х2=0, получаем из (5.16) первое базисное решение: x1=0; x2=0; x3=56; x4=37; x5=2.
При этом значение линейной формы =0. На основании (5.18) строим первую симплексную таблицу.