Завдання № 6

1. Для матриці знайти обернену матрицю : ;

2. Знайти розв’язок задачі Коші: ;

3. Знайти проміжки зростання функції : ;

4. Електронний прилад складається з 4 вузлів. Відомо, що вузли виходять з ладу незалежно один від одного. Ймовірність відмови за час =100 год дорівнює =0,2. Знайти ймовірність того, що не відмовить рівно один вузол приладу з чотирьох під час роботи приладу.

Розв’язок:

1. Знайдемо транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень( , де - це мінор).

Тоді: ; ; ;

Зробимо перевірку, перемноживши ці матриці повинна вийти одинична матриця:

Відповідь: .

2. Запишемо характеристичне рівняння:

; тоді ;

Запишемо розв’язок рівняння:

Відповідь: .

3. Функція зростає на проміжку при умові, що похідна цієї функції більша нуля на цьому проміжку, тоді:

;

; тобто ;

; А отже

Відповідь: функція зростає на

4. За формулою біноміального розподілу ймовірностей можемо знайти ймовірність відмови одного вузла системи: 4·0,8·(0,2)³=0,025

Відповідь: 0,025.

1. Для матриці знайти обернену матрицю : ;

2. Знайти розв’язок задачі Коші: ;

3. Знайти проміжки спадання функції : ;

4. Розвинути в ряд Фур`є за косинусами функцію з періодом .

Розв’язок:

1. Знайдемо транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень( , де - це мінор). Тоді:

; ; ;

Зробимо перевірку, перемноживши ці матриці повинна вийти одинична матриця:

Відповідь:

2. Запишемо характеристичне рівняння: ; звідси ;

Запишемо розв’язок рівняння:

Відповідь:

3. Функція спадає на проміжку при умові, що похідна цієї функції менша нуля на цьому проміжку, тоді: ;

; тобто ;

;

Відповідь: функція спадає на

4 . Оскільки функція кусково-монотонна то за теоремою Дріхле ряд Фур́є цієї функції у кожній точці збігаеться до значення .

Коефіціенти Фур́є:

Графік суми ряду Фур́є.

Відповідь:

1. Для матриці знайти обернену матрицю : ;

2. Знайти розв’язок задачі Коші: ;

3. Знайти проміжки зростання функції : ;

4. Розвинути в ряд Фур'є функцію з періодом , =

Розв’язок:

1. Знайдемо транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень( , де - це мінор). Тоді:

; ; ;

Зробимо перевірку, перемноживши ці матриці повинна вийти одинична матриця:

Відповідь: .

2. Запишемо характеристичне рівняння:

; тоді ; Далі запишемо розв’язок рівняння:

.

Відповідь: .

3. Функція зростає на проміжку при умові, що похідна цієї функції більша нуля на цьому проміжку, тоді: ; Тоді ; Звідси ;

; або

Відповідь: функція зростає на

4. Оскільки функція кусково-монотонна, то за теоремою Діріхле ряд Фур'є цієї функції в кожній точці збігається до значення:

Коефіцієнти ряду:

Графік суми ряду Фур'є:

Відповідь: