2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

Цель балансового анализа: ответить на вопрос –каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы полностью удовлетворить спрос в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль является также и потребителем и своей продукции и продукции других отраслей. Математическая модель многоотраслевой экономики была разработана в 1936 г. Американским экономистом В.Леонтьевым.

Пусть имеем n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственные нужды данной отрасли и других отраслей промышленности, а оставшаяся часть идет на личное и общественное (непроизводственное) потребление. Введем обозначения:

- общий (валовый) продукт i отрасли i =1,…, n;

- объем продукции i отрасли, потребляемый j отраслью j=1,…, n;

- объем конечного продукта для непроизводственного потребления.

Тогда

(i=1,…, n). (5)

Уравнения (1) называют соотношениями баланса.

Введем коэффициенты прямых затрат

,

которые показывают затраты продукции i отрасли на производство единицы продукции j отрасли.

Можно считать, что в течение какого-то времени эта величина будет постоянной.,. определяемой сложившейся технологией производства. Тогда

(i, j=1,…, n)

и соотношения баланса (5) примут вид

(i=1,…, n). (6)

Обозначим

Х= , Y= , A= , тогда (6) можно записать в виде

X=AX+Y (7)

Основная задача межотраслевого баланса : найти такие X=( , чтобы по известной матрице А обеспечить заданные величины

Запишем (7) в виде

(Е-А)Х=Y или

Х=(Е-А)^-1 Y

Матрица S=(Е-А)^-1 называется матрицей полных затрат.

Задача 2.3 Данные об исполнении баланса ( в усл. ед) за предыдущий год даны в таблице

Отрасль	Производство		Валовый выпуск прош	Конечн. продукт след.
	Металлургия	Машиностроение
Металлургия	10	20	100	150
Машиностроение	30	40	200	200

Требуется найти объем валового выпуска, чтобы обеспечить объем конечного продукта на следующий год. Обозначим, х₁=100, х₂=200, х₁₁=10, х₁₂=20, х₂₁=30, х₂₂=40, у₁=150, у₂=200. Х₁, Х₂ –валовой выпуск, требуемый на следующий год.

Найдем

= =0,1, = =0,1, = =0,3 = =0,2

Поэтому

А= , S=E-A= . Det S =0,69.

S^T = . А₁₁=0,8, А₁₂=0,1, А₂₁=0,3, А₂₂=0,9.

S^-1= , а =S^-1 Y= = .

3. Простейшие оптимизационные задачи.

3.1. Экстремумы функции одной переменной.

Необходимое и достаточное условие экстремума функции одной переменной. 

Пусть дана дважды непрерывно дифференцируемая функция f одной переменной , где x .

Определение 1. Точка х называется точкой локального минимума (максимума) функции, если найдется некоторая окрестность этой точки, для всех точек х которой выполняется условие:

f(x )>f(x) (f(x^o)< f(x)).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции f.

Данные определения имеют место и для функций нескольких переменных, только в этом случае х и х⁰ являются векторами, х=(х₁,…, х_n), x ⁿ.

Определение 3. Точки, в которых производная f^’ равна нулю или не существует, называются критическими.

Определение 4. Точки, в которых производная f^’равна нулю, называются стационарными.

Теорема 1. (Необходимый признак экстремума функции.) Если точка x является точкой экстремума функции, то она является критической точкой.

Теорема 2. (Первый достаточный признак экстремума.) Пусть x - критическая точка Тогда, если при переходе через х^о производная f^’ меняет знак с «-» на «+»то х^о- точка локального минимума. Если же производная f^’ меняет знак с «+» на «-»то х^о- точка локального максимума.

Теорема 3. (Второй достаточный признак экстремума.) Если в стационарной точке f”(x )<0, то x - точка локального максимума, если f”(x )>0то x - точка локального минимума.

Если критическая точка одна, то если это будет точка локального максимума (минимума) – она будут являться точкой наибольшего наименьшего) значения функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть дана дважды непрерывно дифференцируемая функция f одной переменной , где x .

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции применяют следующий алгоритм:

1. Находим критические точки функции, принадлежащие . Обозначим их х₁,…,х_n;

2. Находим значения f(x₁),…,f(x_n), а также значения f(a) и f(b);

3. Среди полученных значений выбираем наибольшее (это будет наибольшее значение функции) и наименьшее (это будет наименьшее значение функции.)

Рассмотрим решение задачи 2.1.

f(х,у)=сху max (1)

2х+2у=L, х>0, у>0 (2)

Выражая из (2) у= и вводя ограничение получим задачу: найти наибольшее значение функции f=с на отрезке .

1. Получим f’=0 при х= - единственная критическая точка.

2. Находим f( , f(0)=0, f( .

3. Поэтому х= , у=

Из равенства в ограничениях (2) мы выразили у через переменную х и свели задачу к нахождению наибольшего значения функции одной переменной.