8.Задачи нелинейного программирования.

8.1. Общая постановка задачи нелинейного программирования.

Если в оптимизационной задаче критерий качества или ограничения (или и то и другое) являются нелинейными функциями, то оптимизационную задачу называют задачей нелинейного программирования. Таким образом, задача нелинейного программирования формулируется следующим образом. Найти значение , доставляющее критерию качества f(x) наибольшее (наименьшее) значение и удовлетворяющее ограничениям х М.

Задачи нелинейного программирования значительно сложнее задач линейного программирования и в настоящее время нет общих методов их решения. В отличие от

задач линейного программирования в задачах нелинейного программирования экстремум может достигаться не только в граничных точках области допустимых решений, но и внутри области. При этом экстремум может быть локальным, тогда встает задача определения глобального экстремума критерия качества.

Напомним, что если критерий качества f является дифференцируемой функцией, то необходимое условие экстремума функции f в точке :

=0, j=1,…,n. (1)

Рассмотрим некоторые особенности задач нелинейного программирования на ряде примеров.

8.2. Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями.

Пусть имеем задачу нелинейного программирования

, (2)

(3)

(4)

Выделяя полный квадрат в первом неравенстве системы (3), получим неравенство , которому удовлетворяет множество точек, лежащих внутри круга с центром в (1;2) и радиусом 3.

Так как , то наибольшее значение (2) может принимать только на границе области допустимых значений.

Рассмотрим геометрический способ решения задачи.

Построив множество допустимых значений М и линии уровня критерия качества

при С=4 и С=8, мы видим, что линия уровня с наибольшим значением С будет

к

у
									х

асаться множества М в точке А. Ее координаты

определим из условия касания окружности и

п рямой: они имеют только одну точку пересечения.

Рассмотрим систему уравнений

А

П одставляя х=-2у+С в первое уравнение, получим

М

(5)

Т ак как уравнение (5) должно иметь единственное

р ешение, то дискриминант его должен быть

р авен нулю. Поэтому

С=8

,

р

С=4

ешения которого С= .

Так как мы должны максимизировать f, то выбираем наибольшее значение С= .

При этом, решая (5), найдем у=2+1,2 , а х=С-2у=1+ .