7.3. Анализ чувствительности задачи линейного программирования..

Рассмотрим пример 1 предыдущего пункта и исследуем следующий вопрос: как измениться значение F_max , если изменить ресурсы b₁ и b₂ ?

Справедлива третья теорема двойственности.

Теорема 3.

.

Это следует из того, что F_max = Z_min .

Так как имеет смысл скорости изменения F_max от , то, чем больше величина , тем большую прибыль мы получим при увеличении ресурса Р_j. Поэтому при изменении ресурсов целесообразно увеличивать те ресурсы, у которых больше величина , может быть за счет других ресурсов.

В примере 1 имеет смысл увеличивать ресурс Р₂ , так как .

Однако при больших изменениях ресурсов задача может качественно измениться. В каких пределах могут меняться ресурсы b₁ и b₂ так, чтобы оптимальное решение при этом не изменялось? Такие исследование и называют анализом чувствительности задачи линейного программирования.

В примере 1

Z=5 .

Выразим из системы (14) и через свободные переменные (эти переменные свободные, так как ).

(15)

Подставляя (15) в первое уравнение (14), получим

12 - 3 + =6

Подставляя в (15), получим

,

Z=5(1+0,5 ) +3(3-0,5 ).

Предположим, мы изменили ресурс Р₁ на величину и он стал b₁=5+ .

Тогда

Z=(5+ )(1+0,5 ) +3(3-0,5 )=14+ +(1+0,5 ) +(2-0,5 ) .

Значение Z =14+ будет наименьшим при , если коэффициенты при и будут неотрицательны, то есть при

.

При этом Z_min = F_max = 14+ .

Предположим, мы изменили ресурс Р₂ на величину и он стал b₂=3+ .

Тогда

Z=5(1+0,5 ) +(3+ )(3-0,5 )=14+ +(1-0,5 ) +(2+1,5 ) .

Значение Z =14+ будет наименьшим при , если коэффициенты при и будут неотрицательны, то есть при

.

При этом Z_min = F_max = 14+3 .

Если мы увеличим ресурс Р₂ на две единицы, то значение F_max увеличится на 6 и станет равным 20; если при этом мы даже уменьшим на 2 единицы ресурс Р₁, то значение F_max уменьшится на 2 и станет F_max=18.

7. Решение транспортной задачи.

7.1 Особенности транспортной задачи.

Напомним, что транспортной задачей называют задачу нахождения наименьшего значения функции

f=c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+…+c_1mх_1m+... +c_n1 х_n1+c_n2х_n2+…+c_nm х_nm, (1)

где переменные х_ij, i=1,…,n, j=1,…,m удовлетворяют ограничениям

(2)

х_ij≥0, i=1,2,…,n, j=1,2,…,m. (3)

Транспортная задача – частный случай задачи линейного программирования, и ее можно решать с помощью симплекс-метода. Однако, транспортная задача существенно проще общей задачи линейного программирования, поскольку все коэффициенты в системе (2) равны единицам или нулям.

Будем считать, что (такие задачи называют закрытыми).

Для закрытых транспортных задач ранг системы (2) равен n+m-1, поэтому число базисных переменных будет равно n+m-1, а остальные

nm- n-m+1 переменных будут являться свободными переменными. Решение задачи ( ,0,…0) будем называть базисным распределением поставок.

7.2. Опорный план транспортной задачи

а) Метод «северо-западного угла».

Суть данного метода состоит в максимально возможном удовлетворении запросов потребителей, начиная с верхнего левого угла транспортной таблицы распределения поставок. Рассмотрим данный метод на примере. Пусть имеем таблицу перевозок

	В Р1	В Р2	В Р3	В Р4	Мощности поставщиков
Из М1					40
Из М2					60
Из М3					50
Потребности	30	50	30	40

В верхнем правом углу клетки ставим стоимость перевозки единицы продукции. Заполняем левую верхнюю клетку (1-1). Поставщик М₁ может полностью удовлетворить потребности Р₁, оставшиеся 10 единиц ставим в клетку (1-2). Требуемые для Р₂ 40 единиц берем от поставщика М₂ и так далее.

Отметим, что заполненными оказались m+n-1 клеток. Соответствующие им переменные могут быть выбраны в качестве базисных переменных. Если количество заполненных клеток окажется меньше, чем n+m-1 (вырожденный случай) – можно в любой свободной клетке поставить 0 и считать ее занятой.

Найдем стоимость перевозок

f=30 10.

Недостаток метода «северо-западного угла» в том, что он не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорный план, полученный таким методом, как правило, дает распределение поставок, далекое от оптимального.

б)Метод минимального элемента.

Основная суть метода минимального элемента- сначала обеспечить по максимуму тех потребителей, перевозка к которым самая дешевая.

Например, потребителю Р₁ выгоднее всего отправить требуемую поставку из М₃, так как себестоимость этой поставки наименьшая. Далее из М₂ 50 единиц продукции отправляем в Р₂ (так как поставки в Р₃ уже сделаны), а поставками из М₁ и остатками поставок из М₂ и М₃ заполняем таблицу поставок до конца.

	В Р1	В Р2	В Р3	В Р4	Мощности поставщиков
Из М1					40
Из М2					60
Из М3					50
Потребности	30	50	30	40

Стоимость перевозок в данном случае

f=

Как видим, стоимость поставок меньше, чем в методе «северо-западного угла», а значит данный план распределения поставок ближе к оптимальному.