Доверительный интервал для m при неизвестном σ.
Имеем два неизвестных
m
и σ.
Можно показать, что в этом случае
доверительным интервалом для m
будет интервал (
-
;
+
),
где
- выборочное среднее, n
– объем выборки,
-
исправленное среднее квадратическое
отклонение.
=
,
t
– находится
по таблицам значений функции Стьюдента
в зависимости от γ
и n
( распределение Стьюдента при n
→∞ приближается к нормальному). При
достаточно больших n
(практически при n>20)
t
можно искать из условия Ф(t)
=
.
Пример.
Найти доверительный интервал для
математического ожидания нормально
распределенной случайной величины Х,
для которой по выборке объема n
= 25 найдены
=2,4
и
=4,
если надежность γ
= 0,95.
Решение.
I
способ: t
= t(0,95;
25) ≈ 2,064 (по таблицам значений функции
Стьюдента).
-
= 2,4 –
≈ 1,57;
+
≈ 3,23
(1,57; 3,23) – доверительный
интервал.
II способ: Ф(t) = 0,475 => t ≈ 1,96 => (1,62; 3,18) – доверительный интервал.
Таблица значений функции t = t (γ; n)
γ n |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
5 |
2,78 |
4,60 |
8,61 |
6 |
2,57 |
4,03 |
6,86 |
7 |
2,45 |
3,71 |
5,96 |
8 |
2,37 |
3,50 |
5,41 |
9 |
2,31 |
3,36 |
5,04 |
10 |
2,26 |
3,25 |
4,78 |
11 |
2,23 |
3,17 |
4,59 |
12 |
2,20 |
3,11 |
4,44 |
13 |
2,18 |
3,06 |
4,32 |
14 |
2,16 |
3,01 |
4,22 |
15 |
2,15 |
2,98 |
4,14 |
16 |
2,13 |
2,95 |
4,07 |
17 |
2,12 |
2,92 |
4,02 |
18 |
2,11 |
2,90 |
3,97 |
19 |
2,10 |
2,88 |
3,92 |
20 |
2,093 |
2,361 |
3,883 |
25 |
2,064 |
2,797 |
3,745 |
30 |
2,045 |
2,756 |
3,659 |
35 |
2,032 |
2,720 |
3,600 |
40 |
2,023 |
2,708 |
3,558 |
45 |
2,016 |
2,692 |
3,527 |
50 |
2,009 |
2,679 |
3,502 |
60 |
2,001 |
2,662 |
3,464 |
70 |
1,996 |
2,649 |
3,439 |
80 |
1,001 |
2,640 |
3,418 |
90 |
1,987 |
2,633 |
3,403 |
100 |
1,984 |
2,627 |
3,392 |