
- •Статистическая проверка гипотез (статистические критерии)
- •Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования
- •Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
- •Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или нескольких характеристик анализируемых совокупностей
- •Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности
- •Гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками
- •Общая логическая схема статистического критерия
- •Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия
- •Сущность принципа отношения правдоподобия
- •Методы проверки статистических гипотез: примеры статистических критериев Критерии согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий однородности Смирнова
- •Критерий Стьюдента ( -критерий)
- •-Критерий однородности дисперсий
- •Проверка гипотез о числовых значениях параметров
- •Критерии проверки гипотез о числовом значении параметра биноминального распределения
- •Критерии проверки гипотез о среднем значении нормальной генеральной совокупности
- •Критерий проверки гипотезы о значении дисперсии нормальной генеральной совокупности
- •Последовательный критерий отношения правдоподобия (критерий Вальда) и его свойства
Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия
Выясним, как конкретно получаются те функции от результатов наблюдения (критические статистики ), по значениям которых принимается окончательное решение о том, соответствует ли проверяемая гипотеза имеющимся у нас данным или противоречит им.
Сущность принципа отношения правдоподобия
в общем случае
представление о сравнительной
правдоподобности имеющихся наблюдений
(в отношении проверяемой и альтернативной
гипотез) дает нам сопоставление
соответствующих функций правдоподобия
и, в частности, их отношение
, (1)
где
и
– значения функций правдоподобия
наблюдений
,
вычисленные в предположении справедливости
соответственно гипотез
и
.
Очевидно, чем правдоподобнее наблюдения
в условиях гипотезы
,
тем больше функция правдоподобия
и тем меньше величина
.
Если
– плотность распределения статистики
при условии справедливости гипотезы
,
то построение критерия проверки гипотезы
с заданным уровнем значимости
сводится к определению
-ой
точки
распределения
и к реализации следующего правила:
если
,
то гипотеза
отвергается с вероятностью ошибиться,
равной
,
так как в соответствии с законом
и при справедливости гипотезы
возможно осуществление события
с вероятностью
,
т.е.
;
если
,
то гипотеза
не отвергается.
Критерии, основанные на статистиках вида (1) и процедуре, рассмотренной выше, называются критерии отношения правдоподобия. Их практическая реализуемость и предпочтительность по отношению к другим возможным критериям основаны на следующих фактах.
Критерии отношения правдоподобия являются наиболее мощными среди всех других возможных критериев.
Плотность распределения критической статистики , как правило, без труда восстанавливается по функции правдоподобия
наблюдаемой случайной величины.
Методы проверки статистических гипотез: примеры статистических критериев Критерии согласия
Критерии согласия предназначены для статистической проверки гипотез о модельном виде закона распределения вероятностей исследуемой случайной величины.
Критерий согласия Пирсона
Этот критерий
позволяет проверять гипотезы вида
как для дискретных, так и для непрерывных
случайных величин, когда параметры
известны или являются неизвестными.
Если гипотеза
истинна, то при некоторых, достаточно
общих условиях распределение критической
статистики
(2)
сходится (при
)
к
-распределению.
В непрерывном
случае статистика (2) строится по
группированным данным.
– это общее число интервалов;
– число выборочных данных, попавших в
-ый
интервал;
– векторный параметр, который участвует
в выражении модельной функции распределения
,
а
– его состоятельная оценка (более
корректным способом оценивания считается
тот, при котором в качестве
используется оценка максимального
правдоподобия, построенная по
группированным данным);
– число неизвестных параметров,
оцениваемых по выборке (в случае известных
значений параметров
);
– это результат модельного расчета
вероятности попасть в
-ый
интервал, т.е.
, (3)
где
– соответственно левый и правый концы
в
-го
интервала.
Случай анализа
дискретной случайной величины отличается
от предыдущего тем, что мы работаем с
исходной (а не группированной) выборкой;
– число выборочных данных, равных
-му
возможному значению
,
– число всех возможных значений случайной
величины;
. (4)
Процедура проверки гипотезы критерием Пирсона.
По данным выборки
найти состоятельную оценку
параметров
.
вычислить значение критической статистики .
по заданному уровню значимости критерия из таблиц процентных точек -распределения находим и -ые точки
и
«хи-квадрат» распределения с
степенями свободы.
если
, то гипотеза не отклоняется; если же
или
, то гипотеза отклоняется. Отвержение выдвинутой гипотезы в случае «слишком маленьких» значений статистики критерия на первый взгляд противоречит здравому смыслу. Действительно, статистика характеризует степень отклонения эмпирического распределения случайной величины от гипотетического
; чем меньше , тем меньше это отклонение. Но хотя и является мерой отклонения гипотетического закона
от истинного, но мерой случайной, т.е. величиной, подверженной обязательному неконтролируемому рассеянию. В этом отношении одинаково неправдоподобными следует считать как слишком большие значения , так и слишком малые. Слишком малые значения могут говорить о неудачном выборе закона (искусственное завышение числа параметров, от которых этот закон зависит). Другими причинами могут являться нарушения корректности или объективности техники выборочного обследования.