Статистическая проверка гипотез (статистические критерии)

На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез) относительно природы или величины неизвестных параметров анализируемой системы. Выдвинутую нами гипотезу будем обозначать через . Задача заключается в том, чтобы проверить, не противоречит ли выдвинутая нами гипотеза имеющимся выборочным данным.

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными , сопровождаемая количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

Результат подобной проверки может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений). При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с обладать и другие гипотезы. Так что даже статистически проверенную гипотезу следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.

Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования

1. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины

При обработке данных выборки исследуемой случайной величины очень важно понять механизм формирования выборочных значений , т.е. подобрать и обосновать некоторую модельную функцию распределения , с помощью которой можно адекватно описать исследуемую функцию распределения . На определенной стадии исследования это приводит к необходимости проверки гипотез типа:

, (1)

где гипотетическая модельная функция может быть как заданной однозначно (тогда , где – полностью известная функция), так и заданной с точностью до принадлежности к некоторому параметрическому семейству (тогда , где – некоторый, вообще говоря, -мерный параметр, значения которого неизвестны, но могут быть оценены по выборке с помощью методов статистического оценивания).

Проверка гипотез типа (1) осуществляется с помощью так называемых критериев согласия и опирается на ту или иную меру различия между анализируемой эмпирической функцией распределения и гипотетическим модельным законом .

2. Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или нескольких характеристик анализируемых совокупностей

Наиболее типичные задачи такого рода характеризуются следующей общей ситуацией. Пусть имеется несколько «порций» выборочных данных:

1-я: ;

2-я: ;

…………………...;

k-я: .

Эти порции могли образоваться, например, за счет разделенности условий их регистрации во времени или пространстве. Обозначим функцию распределения, описывающую вероятностный закон, которому подчиняются наблюдения -й выборки, , с этим же индексом обозначим интересующие нас эмпирические и теоретические характеристики этого закона (например, средние значения и ; дисперсии и и т.д.). тогда основные гипотезы однородности можно записать в виде:

; (2а)

; (2б)

. (2в)

В случае неотрицательного результата проверки этих гипотез говорят, что соответствующие выборочные характеристики различаются статистически незначительно.

Отметим частный случай гипотез типа (2а), когда число выборок , а одна из выборок содержит малое количество наблюдений (в частном случае – одно). В таком виде проверка гипотез типа (2а) означает проверку одного или нескольких резко выделяющихся наблюдений.