ЛЕКЦИЯ № 2.4

по дисциплине «Системный анализ и принятие решений»

Тема № 2. Математические методы моделирования систем

Симплекс-метод Вопросы занятия

1 Вычислительный алгоритм симплекс-метода

2 Особенности решения задачи с двухсторонними ограничениями и ненулевыми граничными условиями

Литература

1 Справочник по оптимизационным задачам в асу/ в. А. Бункин, д. Колев, б. Я. Курицкий и др. – л.: Машиностроение, 1984. – 212 с.

2 Терехов Л. Л. Экономико-математические методы: учебник. – М.: Наука, 1972. – 360 с.

3 Зуховицкий С. И. Математические методы сетевого планирования / С. И. Зуховицкий, И. А. Радчик. – М.: Наука, 1965. – 296 с.

4 Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: учеб. пособие/ И. Л. Акулич, Е .И. Велесько, П. Ройш, В. Ф. Стрельчонок. – Мн.: БГЭУ, 2003. – 348 с.

+5 Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 368 с.

Введение

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём направленного перебора вершин выпуклого многогранника (симплекса) в многомерном пространстве (например, вершин треугольника на плоскости, вершин четырёхгранника в 3–мерном пространстве) до определения координат вершины, в которой целевая функция принимает оптимальное значение.

Первый метод линейного программирования, названный методом разрешающих множителей, разработан Л. В. Канторовичем в 1939 году [Л. В. Канторович. Математические методы организации и планирования производства. Л.: Изд-во ЛГУ, 1939]. Симплекс-метод был разработан американским математиком Джорджем Данцигом (George Dantzig) в 1947 году.

Разновидностями симплекс-метода (модифицированный, с обратной матрицей, двойственный и другие) используется один и тот же математический подход к решению задачи линейного программирования, который рассматривается на примере вычислительного алгоритма. Во втором вопросе представлены общая постановка задачи линейного программирования и методы её решения.

1 Вычислительный алгоритм симплекс-метода

Вычислительный алгоритм симплекс-метода применяется для решения задачи линейного программирования (ЛП) с односторонним ограничением и требованием неотрицательности переменных:

(1)

Алгоритм симплекс-метода включает пять этапов, которые рассмотрим на примере решения следующей задачи ЛП:

(2)

Этап 1. Представить исходные данные в виде симплекс-таблицы.

Вводим дополнительные (базисные) переменные y в ограничения и записываем задачу в стандартной форме (предварительно записываем систему таким образом, чтобы в ограничениях были знаки « », и вводим дополнительные переменные):

(3)

Значения свободного члена c₀ и коэффициентов c_j, при свободных переменных x в уравнении целевой функции, свободных членов b_i и коэффициентов а_ij при свободных переменных в уравнениях ограничений записываем в симплекс-таблицу (таблица 1).

Таблица 1

	Свободный член	x1	x2	x3
E	0	-2	2	1
y1	1	-1	-1	1
y2	-5	-2	0	-1
y3	2	1	1	0
y4	2	0	2	1

Этап 2. Проверить совместимость ограничений (наличие ОДР).

Признак 1. Ограничения совместимы, если на каждой итерации (результате повторения математической операции) в каждой строке, имеющей отрицательный свободный член, есть хотя бы один отрицательный элемент.

Из таблицы 1 видно, что признак 1 выполняется.

Этап 3. Найти допустимое решение (координаты любой вершины ОДР).

Признак 2. Решение является допустимым, если в строках базисных переменных симплекс-таблицы все свободные члены неотрицательные.

Из таблицы 1 видно, что признак 2 не выполняется.

Если это требование не выполняется, производится обмен переменных. На каждой итерации такого обмена одна переменная из свободных переводится в базисные, а одна базисная – в свободные.

Алгоритм перехода при обмене переменных состоит из пяти шагов.

1 Числа, содержащиеся в исходной симплекс-таблице, записать в верхних левых частях ячеек новой симплекс-таблицы.

2 Выбрать разрешающий элемент.

В строке, содержащей отрицательный свободный член, выбрать отрицательный элемент. Столбец, в котором находится выбранный элемент, принять в качестве разрешающего.

От выбора разрешающего столбца зависит число итераций, в результате которых находится допустимое решение. Для выбора разрешающего столбца проводится сложный анализ. На оптимальное решение выбор столбца не влияет.

В качестве разрешающего столбца могут быть приняты столбцы x₁ и x₃. Разрешающим принят столбец x₁.

В разрешающем столбце для всех элементов а_ij, имеющих одинаковый знак со свободным членом b_i, определить отношение b_i/а_ij. Значение может быть равно нулю. Строку с минимальным значением b_i/а_ij выбрать в качестве разрешающей.

Для рассматриваемого примера и в качестве разрешающей принимаем строку y₃.

Разрешающим элементом принимается элемент, принадлежащий разрешающим столбцу и строке.

3 Заполнить нижние правые части ячеек симплекс-таблицы по следующим правилам:

1) ячейку разрешающего элемента заполнить , где –разрешающий элемент;

2) ячейки разрешающей строки заполнить элементами, стоящими в этих ячейках, умноженными на ;

3) ячейки разрешающего столбца заполнить элементами, стоящими в этих ячейках, умноженными на минус ;

4) выделить в разрешающей строке все верхние числа, а в разрешающем столбце – все нижние числа;

5) все остальные ячейки заполнить произведением выделенных чисел, находящихся в той же строке и в том же столбце, в которых расположена данная ячейка.

Таблица 1 преобразована в таблицу 2.

Т аблица 2

x1	y3
		Свободныйчлен	x1	x2	x3
	E	0 4	-2 2	2 2	1 0
	y1	1 2	-1 1	-1 1	1 0
	y2	-5 4	-2 2	0 2	-1 0
	y3	2 2	1 1	1 1	0 0
	y4	2 0	0 0	2 0	1 0

4 Перейти к следующей симплекс-таблице.

В новой симплекс-таблице:

1) поменять местами обмениваемые переменные;

2) в разрешающих строке и столбце записать в верхней левой части каждой ячейки число, стоящее в нижней правой части данной ячейки;

3) в остальных ячейках записать в верхней левой части сумму двух чисел, стоящих в каждой ячейке.

Новая симплекс-таблица представлена в таблице 3 (левые верхние части ячеек).

Т аблица 3

x3	y2
		Свободныйчлен	y3	x2	x3
	E	4 -1	2 2	4 2	1 1
	y1	3 -1	1 2	0 2	1 1
	y2	-1 1	2 -2	2 -2	-1 -1
	x1	2 0	1 0	1 0	0 0
	y4	2 -1	0 2	2 2	1 1

5 Проверить признаки.

Если признак 2 выполняется, полученное решение является допустимым. В противном случае проверяется признак 1. Если признак 1 выполняется, то обмен переменных повторяется ещё раз. В противном случае допустимое решение получено быть не может.

Из таблицы 3 видно, что признак 2 не выполняется, а признак 1 выполняется.

Повторяем обмен переменных.

Результаты повторного обмена переменных представлены в таблице 4. Признак 2 выполняется и значения в таблице 4 являются допустимым решением рассматриваемого примера.

Таблица 4

	Свободный член	y3	x2	y2
E	3	4	6	1
y1	2	3	2	1
x3	1	-2	-2	-1
x1	2	1	1	0
y4	1	2	4	1

Из таблицы 4 следует, что x₁=2; x₃=1; y₁=2; y₄=1; y₃=x₂=y₂=0; E=3 (см. столбец свободного члена).

Этап 4. Проверить наличие оптимального решения, то есть ограниченность целевой функции.

Признак 3а. Целевая функция имеет минимальное значение (ограничена снизу), если на каждой итерации в каждом столбце, в строке целевой функции которого находится положительный элемент, есть хотя бы один положительный элемент.

Признак выполняется для таблиц 2; 3; 4.

Признак 3б. Целевая функция имеет максимальное значение (ограничена сверху), если на каждой итерации в каждом столбце, в строке целевой функции которого находится отрицательный элемент, есть хотя бы один положительный элемент.

Этап 5. Найти оптимальное решение.

Признак 4а. Целевая функция имеет максимальное значение в том случае, когда в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, который не рассматривается, положительные.

Признак 4б. Целевая функция имеет минимальное значение в том случае, когда в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, который не рассматривается, отрицательные.

Признак 4в. Если в строке целевой функция все элементы, кроме свободного члена, который не рассматривается, одного знака и при этом есть хотя бы один нулевой элемент, то полученное нулевое решение является альтернативным.

Последнее означает, что есть и другой набор значений переменных, при которых целевая функция имеет такое же оптимальное значение.

Признак 4б для симплекс-таблицы 4 не выполняется. В этом случае продолжается обмен переменных так же, как при поиске допустимого решения, за исключением: разрешающим принимается столбец, в строке целевой функции которого находится элемент, не соответствующий по знаку проверяемому признаку.

Очередные симплекс-таблицы для рассматриваемого примера представлены в таблицах 5-7.

В таблице 7 признак 4б выполняется и полученное решение является оптимальным (в смысле минимума целевой функции). При x₁=3/2; x₃=2; y₁=1/2; y₃=1/2; x₂=y₄=y₂=0; min E=1.

Т аблица 5

x2	y4
		Свободныйчлен	y3	x2	y2
	E	3 -3/2	4 -3	6 -3/2	1 -3/2
	y1	2 -1/2	3 -1	2 -1/2	1 -1/2
	x3	1 1/2	-2 1	-2 1/2	-1 1/2
	x1	2 -1/4	1 -1/2	1 -1/4	0 -1/4
	y4	1 1/4	2 1/2	4 1/4	1 1/4

Т аблица 6

y3	x2
		Свободныйчлен	y3	y4	y2
	E	3/2 -1/2	1 -2	-3/2 -1/2	-1/2 -1/2
	y1	3/2 -1	2 -4	-1/2 -1	1/2 -1
	x3	3/2 1/2	-1 2	1/2 1/2	-1/2 1/2
	x1	7/4 -1/4	1/2 -1	-1/4 -1/4	-1/4 -1/4
	x2	1/4 1/2	1/2 2	1/4 1/2	1/4 1/2

Таблица 7

	Свободный член	x2	y4	y2
E	1	-2	-2	-1
y1	1/2	-4	-3/2	-1/2
x3	2	2	1	0
x1	3/2	-1	-1/2	-1/2
y3	1/2	2	1/2	1/2

2 Особенности решение задачи с двухсторонними ограничениями и ненулевыми граничными условиями

Задача ЛП с двухсторонними ограничениями и ненулевыми граничными условиями записывается в виде:

(4)

Каждое ограничение и граничное условие можно представить в виде двух неравенств:

(5)

Таким образом, задача приводится к виду задачи (1).

Задача (1) решается с числом ограничений m и числом основных и дополнительных переменных m+n. Следовательно, размерность задачи с учётом целевой функции и столбца свободных членов составляет (m+1)(m+n+1).

Задача (5) решается с числом ограничений 2m+2n и числом основных и дополнительных переменных n+2m+2n=2m+3n. Следовательно, размерность задачи составляет (2m+2n+1)(2m+3n+1). Для решения задачи такой большой размерности применяется модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением обратной матрицы [3].

При использовании данного метода вместо матрицы размерностью (2m+2n+1)(2m+3n+1) выделяется матрица размерностью (q+1)(q+2), где .Таким приёмом обеспечивается решение задач большей размерности с помощью последовательного решения задач меньшей размерности.

Профессор В. П. Фандеев

8