1.2 Решение линейных уравнений с модулем

Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2| , то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:

a ;

4 .

1. Первый интервал:

    ;

Второй интервал:

    , т.е. если а<4, то  .

Третий интервал:

 а=4, т.е. если а=4, то  .

2. Первый интервал:

 а=4,  .

В торой интервал:

     a>4,т.е. если 4<а, то 

Третий интервал:

   

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4  .

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1)  , 2)  , 3)   и решим исходное уравнение на каждом промежутке.

1.  ,  .

При а=1 уравнение не имеет решений, но при а 1 уравнение имеет корень  . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е.  ,  ,  ,  . Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень   при  , а на остальных а корней не имеет.

2.  .  .

При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке  . Если а 1, то уравнение имеет один корень х=1.

3.  .  .

При а=1 решением является любое число, но мы решаем на  . Если а 1, то х=1.

Ответ: при    ; при а= – 1   и при а 1 х=1; при а=1   и при а 1 х=1.

1.3 Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида  , где а, b и с – числа, причем, а 0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения  :

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

Если поменять местами коэффициенты а и

с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.

Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение  : а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.

Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а -1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:

При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Пример2. Решить уравнение 

При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а 0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.

При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня  =-1.

При a<1, но а 0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня

 ;  .

Ответ:   и   при a<1, но а 0; х=-0.5 при а=0;  =-1 при а=1.

Пример3. Корни уравнения   таковы, что  . Найдите а.

По теореме Виета   и  . Возведём обе части первого равенства в квадрат:  . Учитывая, что , а  , получаем:   или  ,    . Проверка показывает, что все значения   удовлетворяют условию.

Ответ: