5. Наибольший общий делитель. Алгоритм евклида.

Здесь и далее будем считать, что многочлены и отличны от нуля.

Определение 1. Наибольшим общим делителем НОД двух многочленов и называется многочлен наибольшей степени, который является делителем и .

Определение 2. Наименьшим общим кратным НОК двух многочленов и называется многочлен наименьшей степени, который делится на и .

Определение 3. Два многочлена и называются взаимно простыми, если НОД =1.

НОД и НОК всегда существуют и единственны с точностью до постоянного множителя, т.е. если – какой-то наибольший общий делитель многочленов и , то все их наибольшие делители – это многочлены вида , где . (Аналогично и для НОК ). Поэтому далее будем считать, что НОД и НОК являются нормированными многочленами, т.е. имеющие старшим коэффициентом .

Свойства НОД:

1. Если и , то .

2. Если , то .

3. Если , то .

Если известно разложение многочленов и на произведение неприводимых многочленов, то НОД можно найти сравнением этих разложений. В противном случае для отыскания НОД используется следующее свойство:

НОД = НОД

и теорема о делении с остатком.

Теорема 1 (О делении с остатком). Для любых существуют единственные многочлены и такие, что , причем .

Тогда применяя свойство и теорему необходимое количество раз, получим

НОД = НОД = … = НОД = ,

т.е. последний делитель в этом процессе (многочлен ) и есть НОД . Этот процесс называется алгоритмом Евклида.

Теорема 2 (О линейном представлении НОД). Если НОД , то существует представление , где .

Следствие: Многочлены и взаимно просты тогда и только тогда когда существует линейное представление .

Замечание: пара многочленов и в линейном представлении НОД определена не однозначно; ее всегда можно выбрать так, что , , где , и такая пара уже единственна. Найти эту пару многочленов можно либо методом неопределенных коэффициентов, либо при помощи алгоритма Евклида.

Теорема 3 (О каноническом разложении). Любой приводимый многочлен единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов с точностью до порядка сомножителей.

ПРИМЕРЫ:

1. Найти НОД , где , .

Решение: Многочлен разложен на линейные множители. Осталось разложить многочлен на вещественные неразложимые множители: . Выбирая множители, входящие в оба разложения, получаем: НОД .

2. Найти НОД , где , .

Решение: Разложим многочлен на линейные множители: Проверим по схеме Горнера, какие из этих множителей и с каким показателем степени входят в многочлен :

Сначала проверяем двучлен . Оказалось, что . Поскольку этот двучлен входит в многочлен во второй степени, то надо проверить, делится ли многочлен на , т.е. делится ли на . Коэффициенты частного уже есть, поэтому их можно взять в качестве нового заголовка схемы Горнера. В записи это отмечается проведенной под ними чертой. Видно, что и . Дальнейшую делимость на проверять уже не надо, так как многочлен не делится на . Тогда проверяем следующий двучлен . Проверку можно вести для частного , коэффициенты которого уже получены. Видя, что , проверяем делимость на и получаем, что (а значит, и многочлен ) делится на . Для проверки делимости на делим новое частное на . В итоге получаем, что многочлен дважды делится на и один раз на , следовательно, НОД .

3. Найти НОД , где , .

Решение: Поскольку не видно как разложить многочлены, то здесь удобно применить алгоритм Евклида. Делим с остатком многочлен на многочлен :

Теперь надо делить многочлен на полученный остаток. Если умножить предварительно остаток на это не поменяет НОД, но упростит вычисления.

Сокращаем полученный остаток на и делим на него предыдущий делитель:

Очередной остаток равен нулю, следовательно, последний делитель и есть НОД , значит, НОД .

4. Найти НОД , где , .

Решение: В этом случае вычисления по алгоритму Евклида будут очень громоздкими, поэтому здесь удобно воспользоваться следующим равенством:

=НОД =НОД , .

Поскольку не входит множителем в многочлен , то =НОД .Многочлен имеет следующее разложение:

, где – корни 6-й степени из . Осталось выяснить, которые из являются корнями многочлена . , значит, , т.е. – невещественный кубический корень из . Т.к. кубический корень из является корнем 6-й степени из , то общими корнями многочлена и будут и – два невещественных кубических корня из , а следовательно, НОД = .

5. Найти вещественные корни многочлена .

Решение: Пусть является вещественным корнем данного многочлена. Тогда

, и в виду вещественности

, , т.е. есть общий корень многочленов и , а значит, и корень НОД .

Найдем НОД с помощью алгоритма Евклида:

Остаток легко раскладывается на множители: . Проверим, не являются ли многочлены и множителями многочлена , для чего применим схему Горнера:

Итак, НОД = , следовательно, искомый корень многочлена один и равен .

6. Найти НОД и его линейное представление, если , .

Решение: Найдем НОД с помощью алгоритма Евклида:

После первого деления получили, что , где .

Результатом второго деления является , где .

Получили, что НОД = .

Теперь находим линейное представление НОД . Для этого выражаем через и , а потом выражаем через и :

.

Таким образом, НОД = = .

7. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби , где – корень многочлена .

Решение: Требование задачи означает, что нужно представить данную дробь в виде суммы неотрицательных и по возможности меньших степеней числа с рациональными коэффициентами. Заметим, что показатели степеней должны быть меньше , т.к. уже можно заменить на .

Обозначим , , тогда данная дробь представится в виде . Найдем многочлены и такие, чтобы . Тогда , т.к. . Следовательно, , и задача решена.

Для решения воспользуемся алгоритмом Евклида:

, где .

, где . Тем самым, НОД = . Найдем линейное представление НОД :

. Следовательно, . Для понижения степени достаточно из многочлена вычесть многочлен . Тогда .