3. Кольцо многочленов над областью целостности.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов степени n и степени m старший член равен (это коэффициент при ). Так как в кольце нет делителей нуля, то и, значит, . Следовательно, .

Итак, произведение двух ненулевых многочленов – ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть – многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

,

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент называется значением многочлена f(x) в точке x₀. Таким образом, каждому элементу x₀ кольца K сопоставляется элемент f(x₀) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.

4. Деление многочленов с остатком. Разложение многочлена на множители.

Здесь и далее, многочлен от аргумента будем обозначать через .

Определение 1. Число называют корнем многочлена если .

Замечание: Если – многочлен с вещественными коэффициентами и его корень, то сопряженное число также есть корень многочлена .

Определение 2. Говорят, что многочлен делится на многочлен ( ) если существует такой многочлен , что .

Всякий многочлен имеет делители вида и , где . Такие делители называются тривиальными.

Определение 3. Многочлен называется неприводимым, если он не имеет нетривиальных делителей.

Простейшие свойства делимости многочленов:

1. Если и , то .

2. Если , то для любого многочлена .

3. Нуль делится на любой многочлен.

4. Если и , то , где – некоторое число, отличное от нуля.

5. Если , , то .

Теорема 1 (Теорема Безу). Остаток от деления многочлена на линейный двучлен равен .

Теорема 2 (Теорема Декарта). Многочлен делится на двучлен тогда и только тогда есть корень многочлена .

Деление с остатком многочлена на двучлен можно выполнять при помощи схемы Горнера. Для этого составляется таблица

В первой строке здесь стоят коэффициенты многочлена , во второй строке первый элемент равен , каждый последующий элемент получается из предыдущего умножением его на и прибавлением числа, стоящего над ним. Получаем

.

Теорема 3. Всякий многочлен можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами, т.е. представить в виде

(может быть ).

При этом – старший коэффициент многочлена ; – его корни (не обязательно различные), и любой корень многочлена совпадает с одним из чисел . Такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Если в этом разложении объединить одинаковые множители в степени, то

,

где – все различные корни многочлена .

Теорема 4. Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить на вещественные множители 1-й и 2-й степени:

(может быть или ), где для . При этом:

1. – старший коэффициент многочлена ;

2. – все его вещественные корни;

3. каждый из многочленов неразложим на вещественные множители меньшей (т.е 1-й) степени и имеет два невещественных сопряженных (тем самым различных) корня, являющихся в то же время корнями многочлена ; такими корнями исчерпываются все невещественные корни многочлена .

ПРИМЕРЫ:

1. Разложить многочлен по степеням , где , .

Решение: Для решения задачи применим схему Горнера. Заметим, что если многочлен разложен по степеням , т.е. , то – остаток при делении многочлена на , – остаток при делении предыдущего частного на и т.д.

Получили, что , , , , , , т.е.

2. Разложить по степеням многочлен , где .

Решение: Для решения задачи можно в многочлене заменить на , но эта процедура будет очень громоздка. Поэтому здесь удобно применить схему Горнера. Разложим многочлен по степеням .

Если в полученном разложении заменить на , то получится искомое разложение